Jumissa kaavan pyörittelyssä

Olkoon satunnaismuuttujat X ja Y, odotusarvoinaan Ux Uy ja Varianssina Sx ja Sy

Standardoitut muuttujat X->U ja Y->V

U=(X-Ux)/SQR(Sx)
V=(Y-Uy)/SQR(Sy)

Kovarianssi U ja V välillä on
1/(n-1)*Summa(U*V)
=1/(n-1)*Summa((X-Ux)(Y-Uy))/SQR(SxSy)
=Rxy

ffffs kirjoitti:

Olkoon satunnaismuuttujat X ja Y, odotusarvoinaan Ux Uy ja Varianssina Sx ja Sy

Standardoitut muuttujat X->U ja Y->V

U=(X-Ux)/SQR(Sx)
V=(Y-Uy)/SQR(Sy)

Kovarianssi U ja V välillä on
1/(n-1)*Summa(U*V)
=1/(n-1)*Summa((X-Ux)(Y-Uy))/SQR(SxSy)
=Rxy

Emme ole vielä kurssilla edenneet satunnaismuuttujiin, voi olla, että valitsin tehtävän liian aikaisin?

Labell0 kirjoitti:

Emme ole vielä kurssilla edenneet satunnaismuuttujiin, voi olla, että valitsin tehtävän liian aikaisin?

... terminologiasta -- satunnaismuuttujat eivät itse asiassa ole muuttujia, eivätkä satunnaisia... ;)

Satunnaismuuttuja on tarkasti määritelty funktio.

Nimitys on lähinnä historiallinen objektin ominaisuuksia jäljittelevä.

nkorppi kirjoitti:

... terminologiasta -- satunnaismuuttujat eivät itse asiassa ole muuttujia, eivätkä satunnaisia... ;)

Satunnaismuuttuja on tarkasti määritelty funktio.

Nimitys on lähinnä historiallinen objektin ominaisuuksia jäljittelevä.

Nojaa. Onhan toki Kolmogorovin konstruktion mukaisesti satunnaismuuttujat mitallisia funktioita todennäköisyysavaruudelta R^n:lle, mutta eihän nyt herranjestas kukaan millään sigma-algebroilla todennäköisyyslaskuja laske... Enkä edes usko, että Kolmogorovin aksioomat ovat ainoa mahdollinen matemaattinen malli todennäköisyyslaskennalle ja sen objekteille. Onhan K:n aksioomat toki ihan kiva ja toimiva juttu sinänsä, sitä en kiellä. Mutta eivät koko totuus.

dx2 kirjoitti:

Nojaa. Onhan toki Kolmogorovin konstruktion mukaisesti satunnaismuuttujat mitallisia funktioita todennäköisyysavaruudelta R^n:lle, mutta eihän nyt herranjestas kukaan millään sigma-algebroilla todennäköisyyslaskuja laske... Enkä edes usko, että Kolmogorovin aksioomat ovat ainoa mahdollinen matemaattinen malli todennäköisyyslaskennalle ja sen objekteille. Onhan K:n aksioomat toki ihan kiva ja toimiva juttu sinänsä, sitä en kiellä. Mutta eivät koko totuus.

... mistään syvällisestä, vaan totesinpa vain, että satunnaismuuttuja on määritelty funktioksi -- jo lukiossa! -- ei ole mitään muuta tapaa määritellä sitä. Muuttujaksi sitä ei ainakaan voi ristiä!

Eli ihan perusasiasta huomautin, eikä mitallisuudesta tarvitse tietää vielä tuossa vaiheessa.

dx2 kirjoitti:

Nojaa. Onhan toki Kolmogorovin konstruktion mukaisesti satunnaismuuttujat mitallisia funktioita todennäköisyysavaruudelta R^n:lle, mutta eihän nyt herranjestas kukaan millään sigma-algebroilla todennäköisyyslaskuja laske... Enkä edes usko, että Kolmogorovin aksioomat ovat ainoa mahdollinen matemaattinen malli todennäköisyyslaskennalle ja sen objekteille. Onhan K:n aksioomat toki ihan kiva ja toimiva juttu sinänsä, sitä en kiellä. Mutta eivät koko totuus.

Todennäköisyyslaskennan perusmotivaatio on mitallisuudessa -- jos malli on toinen, sitä ei kutsuta enää todennäköisyyslaskennaksi. Siinä suhteessa ne ovat koko totuus, (vaikka kaikkea ei vielä tiedetäkään), mutta osatotuudella toki pärjää pitkälle.

nkorppi kirjoitti:

Todennäköisyyslaskennan perusmotivaatio on mitallisuudessa -- jos malli on toinen, sitä ei kutsuta enää todennäköisyyslaskennaksi. Siinä suhteessa ne ovat koko totuus, (vaikka kaikkea ei vielä tiedetäkään), mutta osatotuudella toki pärjää pitkälle.

Todennäköisyyslaskenta on yllättävän empiirinen ala. Esimerkiksi koko päätösteorian ja samalla koko estimointiteorian voi käsittääkseni johtaa ilman Kolmogorovin aksioomia ja todennäköisyysmittoja (siis mittateoriamielessä ilman mittoja). Itse näkisin niin, että todennäköisyyslaskentaa ovat ne päättelysäännöt joilla laskentaa tehdään, eivät ne mitat.

Mitat ovat kyllä oikeasti minunkin mielestäni se kaikista paras ja helpoin tapa formalisoida todennäköisyyslaskenta, mutta halusin vain tuoda esille sen, että ei se ole se ainoa mahdollinen tapa. Tästä syystä siis satunnaismuuttujatkaan eivät ole "oikeasti" mitallisia funktioita vaan yksi mahdollinen lähestymistapa on mallintaa ne sellaisina.

dx2 kirjoitti:

Todennäköisyyslaskenta on yllättävän empiirinen ala. Esimerkiksi koko päätösteorian ja samalla koko estimointiteorian voi käsittääkseni johtaa ilman Kolmogorovin aksioomia ja todennäköisyysmittoja (siis mittateoriamielessä ilman mittoja). Itse näkisin niin, että todennäköisyyslaskentaa ovat ne päättelysäännöt joilla laskentaa tehdään, eivät ne mitat.

Mitat ovat kyllä oikeasti minunkin mielestäni se kaikista paras ja helpoin tapa formalisoida todennäköisyyslaskenta, mutta halusin vain tuoda esille sen, että ei se ole se ainoa mahdollinen tapa. Tästä syystä siis satunnaismuuttujatkaan eivät ole "oikeasti" mitallisia funktioita vaan yksi mahdollinen lähestymistapa on mallintaa ne sellaisina.

... mutta tärkeämmin, satunnaismuuttujat kuitenkin ovat funktioita, mitallisia tai ei.

nkorppi kirjoitti:

... mutta tärkeämmin, satunnaismuuttujat kuitenkin ovat funktioita, mitallisia tai ei.

Miksi ne olisivat funktioita muutoin kuin K-aksioomamielessä?

dx2 kirjoitti:

Miksi ne olisivat funktioita muutoin kuin K-aksioomamielessä?

... mitenkään, ja se kertoo paljon. ;)

Jos satunnaismuuttujaa ajateltaisiin muuttujana, silloin menetetään looginen tapa ilmaista muodollisesti ohjeet siitä, milloin se saa minkäkin arvonsa.

Jos se ei olisi funktio, miten esim. puolustaisit sitä, ettemme voi samalle tapahtumalle antaa kaksi vaihtoehtoa satunnaismuuttujan arvolle.

Esim. X = 0 tai 1 jos tapahtuma on kruuna, ja X = 0 jos tapahtuma on klaava. Tällöin X ei olisi satunnaismuuttuja -- mutta emme ole rikkoneet mitään muuttujia koskevaa sääntöä.

nkorppi kirjoitti:

... mitenkään, ja se kertoo paljon. ;)

Jos satunnaismuuttujaa ajateltaisiin muuttujana, silloin menetetään looginen tapa ilmaista muodollisesti ohjeet siitä, milloin se saa minkäkin arvonsa.

Jos se ei olisi funktio, miten esim. puolustaisit sitä, ettemme voi samalle tapahtumalle antaa kaksi vaihtoehtoa satunnaismuuttujan arvolle.

Esim. X = 0 tai 1 jos tapahtuma on kruuna, ja X = 0 jos tapahtuma on klaava. Tällöin X ei olisi satunnaismuuttuja -- mutta emme ole rikkoneet mitään muuttujia koskevaa sääntöä.

... ainoa kiertotie on sanoa, että X on muuttuja, johon pätee erikoissäännöt, jotta se olisi kuin funktio.

Tämä on hölmöä, kun voimme samalla vaivalla ja suuremmalla hyödyllä tehdä siitä funktion, joka käyttäytyy joskus muuttujan tavoin.

nkorppi kirjoitti:

... ainoa kiertotie on sanoa, että X on muuttuja, johon pätee erikoissäännöt, jotta se olisi kuin funktio.

Tämä on hölmöä, kun voimme samalla vaivalla ja suuremmalla hyödyllä tehdä siitä funktion, joka käyttäytyy joskus muuttujan tavoin.

Ajatellaan tavallista funkiota
f(x), joka saa vaikka arvot 2,4,6 kun x saa arvot 1,2,3. x on muuttuja joka saa arvot 1,2,3 ja funktio saa arvot 2,4,6.

Vastaavasti X on satunnaismuuttuja joka voi saada arvon 1,2,3,4,5,6 (nopan heitto)
Kun taas P on funktio
P:{1,2,3,4,5,6}->[0,1]
P(x)=1/6 kaikilla x\in{1,2,3,4,5,6}
(Ideaalinoppa)
Siis todennäköisyys P on aina (mitallinen)funktio.
Kun taas P:n argumentti X on satunnaismuuttuja.

ffffs kirjoitti:

Ajatellaan tavallista funkiota
f(x), joka saa vaikka arvot 2,4,6 kun x saa arvot 1,2,3. x on muuttuja joka saa arvot 1,2,3 ja funktio saa arvot 2,4,6.

Vastaavasti X on satunnaismuuttuja joka voi saada arvon 1,2,3,4,5,6 (nopan heitto)
Kun taas P on funktio
P:{1,2,3,4,5,6}->[0,1]
P(x)=1/6 kaikilla x\in{1,2,3,4,5,6}
(Ideaalinoppa)
Siis todennäköisyys P on aina (mitallinen)funktio.
Kun taas P:n argumentti X on satunnaismuuttuja.

... yhden esimerkin, jossa ongelmaa ei ole. Se ei kuitenkaan todista, että määritelmä on mutkaton aina.

nkorppi kirjoitti:

... yhden esimerkin, jossa ongelmaa ei ole. Se ei kuitenkaan todista, että määritelmä on mutkaton aina.

Tarkoitin siis sitä, että voidaan esittää
että annettussa joukossa X oleva osa-joukko A on satunnaismuuttuja. Ja on olemassa funktio P (todennäköisyys) P: Potenssi(X)->[0,1].

Nyt on oikein sanoa (tapahtumaa) A satunnaismuuttujaksi, mikäli kyseinen funktio on olemassa ja tällöin sen täytyy toki täyttää todennäköisyyden aksioomat, jotka esim. kolmogorov on antanut.

Mutta kun puhumme satunnaismuuttujista, niin voimmehan periaatteesta puhua myös ilman niiden todennäköisyyksistä (eli mitasta). Ei välttämättä kovin mielekästä matemaattisessa mielessä jos ei voida lukuarvoa liittää.

ffffs kirjoitti:

Tarkoitin siis sitä, että voidaan esittää
että annettussa joukossa X oleva osa-joukko A on satunnaismuuttuja. Ja on olemassa funktio P (todennäköisyys) P: Potenssi(X)->[0,1].

Nyt on oikein sanoa (tapahtumaa) A satunnaismuuttujaksi, mikäli kyseinen funktio on olemassa ja tällöin sen täytyy toki täyttää todennäköisyyden aksioomat, jotka esim. kolmogorov on antanut.

Mutta kun puhumme satunnaismuuttujista, niin voimmehan periaatteesta puhua myös ilman niiden todennäköisyyksistä (eli mitasta). Ei välttämättä kovin mielekästä matemaattisessa mielessä jos ei voida lukuarvoa liittää.

... veit sanat suustani: satunnaismuuttujien kaytto pelkkien todennakoisyyksien sisalla on varsin rajallista. Entas muut kiinnoistavat tiedot: odotusarvo tai kovarianssi jne. jne. Kaikki hyodyllisia.

Tapahtumahan ei ole itse satunnaismuuttuja, vaan tapahtuma on jokin rajoitus satunnaismuuttujan arvoille. Esim P(X=0) on todennakoisyys tapahtumalle {X=0}.

Hyoty siita, etta tapahtumaa pidetaan alkeistapausten joukkona on se, etta joukko-opin teoreemat (esim. inclusion exclusion) yleistyvat paljon luonnollisemmin.

Omassa esimerkissasi X:n arvojoukko vastasi alkeistapahtumien joukkoa -- mutta tama on valtavan rajallista: Jos heitamme vaikkapa tikkaa, emme voi kasitella jokaista pistetta erikseen, silla niita on aarettoman monta. On jarkevinta ajatella tapahtumia tikkataulun osa-joukkoina.

Miettiessamme satunnaismuuttujan ottamia arvoja, on hyva olla jokin luonteva tapa kuvailla sita, miten eri alkeistapahtumat johtavat satunnaismuuttujan eri arvoihin. Olisi talloin hullua ajatella satunnaismuuttujaa jonakin muuna kuin funktiona.

Lisaksi on jotenkin perverssia puhua todennakoisyydesta eli mitasta, jos emme suostu ottamaan kantaa siihen, mitka tapahtumat ovat oikeasti mitallisia. Toki koulumatikassa esimerkit ovat riittavan yksinkertaisia, jotta satunnaismuuttujaa ei aina tarvitse nahda (mitallisena) funktiona, mutta syy tahan on yksinkertaisesti se, etta maaritelmat menisivat turhan pitkalle -- ei niinkaan se, etta luotaisiin vaihtoehtoista todennakoisyyslaskentaa...