Mikä on funktion maksimiarvo ja sijainti?
f(x)=(1500·(600-x))/((80-x/10)^2)
Ilmeisesti tuo pitäisi derivoida f'(x)=jotakin ja tämän jälkeen derivoitu lauseke laitetaan nollaksi ja ratkaistaan x.
f(x)=(1500·(600-x))/((80-x/10)^2)
Ilmeisesti tuo pitäisi derivoida f'(x)=jotakin ja tämän jälkeen derivoitu lauseke laitetaan nollaksi ja ratkaistaan x.
Vastaukset 12
Vanhimmat
Ei se todellakaan ole vaikea ja siksi voit derivoida sekä laskea sen kertomallasi tavalla loppuun aivan itse.
Vastaukseksi näyttäisi tulevan x=400, jolloin f(400)=375/2, ja kyseessä on todella maksimi, koska f"(400)
tiedämpä ainakin vastauksen, mutta en onnistunut derivoinnissa. onnistuuko derivointi käyttämällä peruslaskusääntöjä (osamäärän derivaatta). Itse esim. saan johonkin laskuvaiheeseen esim. (80-x/10)^4 tai (800-x)^4 ,jonka jälkeen homma karkaa käsistä
Derivointi onnistuu, kunhan osaa derivoida edes joten kuten.
Siinä voi käyttää sijoitusta t=(80-x/10)^(-2)
Silloin t`=-2*(80-x/10)^(-3)*(-1/10)=(80-x/10)^(-3)/5
Tuo itse funktio f(x)=1500*(600-x)*t ja
f`(x)/1500=-t t`*(600-x)
sen kun merkkaa nollaksi saadaan
t=t`*(600-x)
ja siihen sijoittamalla t ja t` ja sitten ristiin kertomalla ja supistamalla
400-x/2=600-x , josta x=400
tuon sijoituksen käyttämiseen on se, että se helpottaa tehtävässä tarvittavan funktion toisen derivaatan, (arvolla 400), laskemista. Lasketaan se nyt tähän.
f`(x)/1500 = -t t`*(600-x)
f"(x)/1500 = -t` t"*(600-x)- 1*t` = -2t` t"(600-x)
t`=(80-(x/10))^(-3)*(1/5 )
t" =-3*(80-(x/10))^(-4)*(-1/10)*(1/5)
=(3/50)*(80-(x/10))^(-4)
f"(arvolla 400)/1500 = -2t`(400) t"(400)*(600-400)
t`(400)=1/(5*40^3)
t"(400)=3/(50*40^4)
ja koko f"(arvolla 400)/1500 saadaan sijoittamalla nuo arvot
tulee -1/(10*40^3)
ja f"(400) = -3/1280 (kai ,en jaksa tarkistaa, negatiivinen kuitenkin)
nopeesti katsottuna tuskin ymmärsin, mutta katsotaan myöhemmin ajatuksen kanssa
Aivan suoraan derivoimalla saadaan
f'(x) = -1500/(80-1/10*x)^2 300*(600-x)/(80-1/10*x)^3,
mistä edelleen saadaan molemmat termit samannimisiksi laventamalla ensimmäinen termi termillä (80-1/10*x).
Merkitsemällä sitten nimittäjä nollaksi sekä sieventämällä saadaan lauseke muotoon
f'(x) =150000*(-400 x) =0,
jonka nollakohta on helppo ratkaista.
Sain sievennettyä lausekeen tämän näköiseksi: -150000(x-600)/(x-800)^2, joka pitäisi sitten derivoida.
Eli: -150000000x 90000000/(x-800)^2 =
[D(-150000000x 90000000)((x-800)^2)-D((x-800)^2))(-150000000x 90000000)]/((x-800)^4)
Kuinka (x-800)^2 derivoidaan, jos avaan sulut se kyllä onnistuu. Tuo (x-800)^4 jää hieman kummittelmaan.
Nyt keksin toisen tavan eli tulon derivaatan säännöllä, jos keksin miten (x-800)^-2 derivoidaan
löysin netistä funktion potenssin derivaatan säännön tai vastaavan, mutta saa nähdä onnistuuko nyt
f(x)=1500*(600-x)/(80-x/10)^2
jaetaan ensin molemmat puolet 1500:aa ,ja muutetaan tuo jakolasku kertolaskuksi.
tulee
f(x)/1500=(600-x)*(80-x/10)^(-2)
derivoidaan molemmat puolet, ja käytetään siis tulon derivaattaa
f`(x)/1500=-1*(80-x/10)^(-2) (-2*(80-x/10)^(-3)*-1/10*(600-x))=
-(80-x/10)^(-2) (1/5)*(80-x/10)^(-3)*(600-x)
f`(x) on siis 1500 kertaa tuo, ja se pitää siis asettaa nollaksi.
Asetetaan se nollaksi ja samalla jaetaan molemmat puolet 1500:aa ,ja muutetaan nuo miinus eksponentit taas plussaksi.
-1/(80-x/10)^2 (600-x)/(5*(80-x/10)^3) = 0
tulee
1/(80-x/10)^2 = (600-x)/(5*(80-x/10)^3)
kerrotaan ristiin ,tulee
5*(80-x/10)^3=(600-x)*(80-x/10)^2
supistetaan ja kerrotaan tuo 5* ,tulee
400-x/2=600-x , eli x/2 =200 ja x=400
Itse olisin lähtenyt ratkaisemaan näin: f(x)=(-1500x 900000)((80-x/10)^(-2)), mutta päätit sitten näköjään jakaa 1500 molemmat puolet.
Ristiin kertomisen sijasta tämän olisi myös ratkaisut normaalisti.
Kyllähän minä nyt tämän tajusin, mutta ei olisi tullut mieleen jakaa 1500:lla. Ja pidät myös laskun tulomuodossa, jolloin supistaminen onnistuu, itse olisin ehkä jossakin kohdassa avannut sulut.