"korpilta" apua?
Graduni olen suunnitellut siten, jotta ymmärtäisin ja todistaisin funktionaalianalyysiin liittyvän spektraalilauseen.
Toki olen mielessäni pohtinut sitä sun tätä ja kysymyksiä riittää. Neuvoja kysyessäni ohjaajaltani, hän puhui rennosti ja pyöritteli sormiansa minua opastaessaan kuin olisi ollut ratkaisemassa jo hänen oivallettua pirunnyrkkiä. Lopulta sormet olivat oikeassa asennossa ja minun piti vain kirjoittaa tämä paperille.
Vaikka tämä ääretönulottuvaisuuksien avaruuksien havainnollistaminen onnistui näinkin kätevästi sormien avulla ja vaikka sainkin siitä tosi paljon irti, niin kaikki apu tarvitaan.
Nyt,jos jollakin on esittää jotain ihmismielellä ja sanoilla ymmärrettävää, asiaan liittyviä vihjeitä ja neuvoja, niin lukisin niitä mielelläni.
Graduni olen suunnitellut siten, jotta ymmärtäisin ja todistaisin funktionaalianalyysiin liittyvän spektraalilauseen.
Toki olen mielessäni pohtinut sitä sun tätä ja kysymyksiä riittää. Neuvoja kysyessäni ohjaajaltani, hän puhui rennosti ja pyöritteli sormiansa minua opastaessaan kuin olisi ollut ratkaisemassa jo hänen oivallettua pirunnyrkkiä. Lopulta sormet olivat oikeassa asennossa ja minun piti vain kirjoittaa tämä paperille.
Vaikka tämä ääretönulottuvaisuuksien avaruuksien havainnollistaminen onnistui näinkin kätevästi sormien avulla ja vaikka sainkin siitä tosi paljon irti, niin kaikki apu tarvitaan.
Nyt,jos jollakin on esittää jotain ihmismielellä ja sanoilla ymmärrettävää, asiaan liittyviä vihjeitä ja neuvoja, niin lukisin niitä mielelläni.
Vastaukset 11
Vanhimmat
Olet varmasti tämän jo tajunnutkin, mutta varmistetaan kumminkin.
Etsi kyseinen spektraalilause jostain kirjasta. Lue kirjaa _väärin_päin_. Siis luet ensin spektraalilauseen todistuksen. Todistuksessa viitataan joihinkin kirjassa aiemmin esitettyihin lauseisiin ja käsitteisiin. Selvitä sitten nämä, ja huomioi, mihin aiempiin tuloksiin näissä viitataan. Työskentele näin maaliviivalta alkuun päin, piirrä vaikka puukaavio todistuksen riippuvuussuhteista eri tuloksiin. Lopulta tiedät, mitä kaikkea tarvitset todistuksessasi.
Tämän jälkeen stilisoi todistuksesta kaikki turha pois.
Lauseen merkityksen ymmärtäminen on sitten ehkä oma juttunsa.
Hölmöille professoreille riittää ymmärtämisen osoittamiseksi, että sovellat lausetta johonkin muuhun kuin perusesimerkkeihin. Eli tee muutamia oleellisesti erilaisia esimerkkejä, joissa spektraalilausetta voi käyttää. Ja jos keksit itse täysin uusia esimerkkejä joihin sitä voi soveltaa niin se tarkoittaa jo parempaa arvosanaa.
Hölmöjähän ne yleensä on joo. :D Voisko vielä vähän ylimielisemmältä kuullostaa?
Tarkoitin hölmöllä lähinnä hajamielistä ja laiskaa. En siis älyllisesti typerää.
Mutta vaikka tekisimme oletuksen, että olen ylimielinen, niin yritätkö nyt sanoa, että siksi väitteeni eivät ole pitäviä.
Minusta hyvien sovellusesimerkkien keksiminen tai esittäminen osoittaa pro gradussa että ollaan ymmärretty lauseen sisältö. Lauseen todistaminen taas osoitta, että on analyyttiset valmiudet käsitellä matemaattisia kokonaisuuksia.
Yksinkertaisimmassa muodossaan spektrilause sanoo, että tietyillä ehdoilla vektorin lineaarinen muunnos voidaan esittää lineaarikombinaationa ominaisvektoreista, joiden kertoimet saadaan kertomalla vektorin ominaisarvot skalaarilla ja ottamalla tästä tuloksesta pistetulo sen vektorin kanssa, johon lineaarista muunnosta sovelletaan.
Kävin lineaarianalyysi kurssin viime vuonna, mutta luennoitsijani ei ollut kovin hyvä, ja Bollobasin kirja 'Linear Analysis' ei sekään ollut kovin helposti luettava. Siispä siitä ei muodostunut lempikurssejani.
Mutta osiot liittyen operaattoriteoriaan ja spektraalilauseeseen (luvut 11-14) ovat suhteessa paljon parempia, joten kannattanee lainata tai ostaa kirja jostakin. Hyvä puoli kirjassa on se, ettei se ole liian pitkä. Mutta jos olet soveltava matemaatikko, kirja ei ole hyvä, sillä sovellusesimerkit puuttuvat.
Lauseen todistus jäi meillä funktioanalyysin ensimmäisen kurssin ulkopuolella, koska kurssiaikataulu oli niin tiukka, että emme ehtineet käydä todistusta läpi kurssin lopussa.
Oikeastaan lause on tyypillinen siinä, että se on kohtalaisen helppo ymmärtää, mutta varsin sotkuisempi todistaa.
Muistaakseni, (ja selaamalla kirjaa), näyttäisi siltä että todistus on helppo kun kyseessä on 'compact self-adjoint operator', (todistus seuraa suoraan yhdestä isosta lemmasta). Jos operaattorin kompaktius pudotetaan, todistus vaikeutunee huomattavasti (tai ainakin muuttuu entistä sotkuisemmaksi).
Sen sijaan on eri asia onko aihe hauska tai hyödyllinen gradun aiheeksi. Ainakaan se ei minua innosta, mutta makuja on monia.
Suurin ongelma lienee siinä, että tämä on malliesimerkki teoreemasta, jonka lopputulos ja sovellukset ovat kiinnostavia -- mutta itse todistus ei ole mitenkään erityisen mieleenpainuva tai hieno. Ehkä soveltava matemaatikko saisi tuosta paremman gradun -- ikään kuin kaappaa jotakin puhtaasta matikasta itselleen.
Puhtaana matemaatikkona valitsisin itse gradun aiheeksi jotakin, minkä todistukset ovat kauniita ja antavat puheenaihetta. (Esim. Markov-ketjuista tai kombinatoriikasta tai solmuteoriasta.) Vertailisin samantyyppisten todistusten käyttöä eri ongelmiin.
Pahoittelut etten osaa auttaa enempää, mutta lineaarianalyysi ei ainakaan tällä hetkellä innosta minua... ;)
Kiitos vastauksestasi.
Ei tämä tosiaan ole mitään kaunista, ainakaan vielä. Eikä tämä todistaminen minusta vaikuta helpolta, kuten väitit.
Kyllä nyt on kyse kompakteista operaattoreista. Jos ei olisi kompakti, niin jättäsin jo väliin.
Kuiteski, tämän lauseen todistaminen riittää gradun aiheeksi. Toivottavasti vielä löydän tästä sitä kauneutta.
...siitä, yritätkö 'todistusta' kirjan kanssa vai ilman. Pelkän todistuksen kopionti kirjasta ei ehkä tee gradua, mutta itse todistaminen voi olla vaikeaa.
En toisaalta ymmärrä syytä tehdä esseetä sellaisesta todistuksesta, joka ei ole kovin kiinnostava ja joka on jo yleisessä tiedossa. Mitä esseesi lukija hyötyy siitä? (Itse toki hyödyt siitä, mutta se ei ole pointti.)
Jos todistus on vain osa suurempaa esseetä, missä katsot aihetta omasta näkökulmastasi, ei ole mitään haittaa käyttää valmista todistusta. Jos haluat, voin vaikka kirjoittaa sen tänne? (Käytä tällöin lähdetietoina 'Bollobas: Linear Analysis'.)
todistaa lausetta tottakai kirjaa käyttäen (basic operator theory 1980 Goldberg), mutta välivaiheet puuttuvat.
Luennoista on paljon apua mutta, jos tästä sais jotain tolkkua itsekin ajattelemalla. Ei varmaan esseeni lukija hyödy mitään tuotoksestani. Mutta jotenkin vain halusin todistaa spektraalilauseen, olkoonkin vaikkapa vain mahtipontisesta lauseennimestä johtuen. Ehkä otin summassa aiheeni, mutta pakko on vetää loppuun saakka. Ei minua haittaa, vaikka kaikki lauseessani on ollut selvää jo pitemmän aikaa. Minua kuitenkin kiinnostaa sen ymmärtäminen.
Vielä näihin valmiisiin todistuksiin: Eikös gradun tarkistaja heti hoksi, minkä olet itse oivaltanut ja minkä olet ottanut jostain (netistä). Minulla on lähteenä ainoastaan luennot ja mainitsemani kirja. Yritän tältä pohjalta kehitellä jotain täsmällistä.
... todistuksen keksiminen itse on osoitus taidoistasi, mutta se ei tee pakosti hyvää esseetä. Essee, jossa ei ole todistettu mitään itse voi silti olla kymmenen kertaa parempi.
Esim. neljännen vuoden matikan essee täällä Cambridgessa ei vaadi mitään 'uusia' tai itse keksittyjä todistuksia, vaan täydet pisteet saa siitä, että kerää haastavasta materiaalista selvän kokonaisuuden -- tietystä itse valitusta näkökulmasta.
PhD:n vaatimus on yksi uusi merkittävä ajatus tai idea. Jos ryhtyy liian kunnianhimoiseksi liian aikaisessa opiskelujen vaiheessa, voi olla että deadline lähestyy ja essee jää tekemättä.
Matemaatikon työhön kuuluu olemassaolevan kirjallisuuden vertaileminen ja matkiminen. On jotenkin keinotekoista sulkea silmät olemassaolevalta todistukselta, jotta voisi 'todistella' omia kykyjään. Heti jos/kun olet todistanut lauseen itse, sinun kannattaa ainakin sen jälkeen verrata todistusta kirjassa olevaan -- ja vertailu kannattaa laittaa esseeseen. Jos oma todistuksesi eroaa kirjan versiosta, esseestä saattaa tulla hyvä.
Tai jos oma todistuksesi muodostui samantyyppiseksi, voit pohtia miksi näin oli kohtalo määrännyt. Eli mitkä seikat veivät kohti tiettyä ajattelutapaa?
Tarkistaja tietää tosiaan mikä on omaa työtäsi ja mikä ei -- sillä jokaikinen lainauksesi ilmenee lähdetiedoissasi. Jopa nettisivut pitää luetella. Plagoimaan et voi lähteä.
Esseen perimmäinen tarkoitus ei ole esitellä taitojasi, vaan antaa jotakin hyödyllistä yleiselle lukijalle. Uusi näkökulma, tai vaikkapa selkeä yhteenveto jostakin aiheesta, jota ei käsitellä kuin hajanaisesti kirjallisuudessa.
Yleisesti ottaen et pysty kirjoittamaan hyvää esseetä ilman ainakin muutamaa kunnon lähdettä.
Esim. tässä on lukion puolessa välissä kirjoittamani essee, joka arvioitiin lähes gradun arvoiseksi:
http://www.aka.fi/modules/upndown/download_upndownfile.asp?id=3390615C4A6A4C579ADDC0DD9319A48A&itemtype=UPNDOWNFILE
Ongelma aiheessasi on se, että sinulla ei ole mitään Plan B:ta -- jos et itse osaa todistaa teoreemaa, olet kusessa. Kannattaisi valita sellainen fokus, että annat itsellesi mahikset kokeilla uutta todistusta, MUTTA niin ettei se ole ratkaisevaa esseesi idean kannalta.
Lopuksi haluan korostaa, ettei koskaan ole liian myöhäistä vaihtaa aihetta tai täsmentää tutkimuskysymystä, jos mitään ei synny. Liian kauan ei kannata hakata päätä seinään. Oma esseeni yllä syntyi viikossa, ja tätä ennen olin menettänyt kerran koko tiedoston ja jouduin aloittamaan alusta. Kun tietää mitä tekee, aikaa ei tarvita paljon.
Sieltä löytyy sovelluskohteita kasapäin, jos suuntautumisvaihtoehtosi antaa vain mahdollisuuden.