Niin, eli miten toi lasketaan käyttämällä pelkästään todennäköisyysoppia. En osaa ja tulee huomisen kokeeseen.
Tossa kysymykset: http://matta.hut.fi/matta2/yoteht/k07p.pdf
Tossa vastaukset:
http://matta.hut.fi/matta2/yoteht/k07pratk.pdf
Tossa kysymykset: http://matta.hut.fi/matta2/yoteht/k07p.pdf
Tossa vastaukset:
http://matta.hut.fi/matta2/yoteht/k07pratk.pdf
Vastaukset 21
Vanhimmat
... siis tehtävää 8?
Ratkaisuissa näytetty tapa on oikeastaan ainoa järkevä ja suoraviivainen keino ratkaisuun. Siinä on nimenomaan käytetty pelkästään todennäköisyysoppia.
Se vaatii nuo muutamat integraalit, sillä satunnaismuuttuja ei ole nyt pakosti diskreetti.
Kertaan sulle vähän asioita. 'int' merkitsee tässä integraalia.
Tiheysfunktio f kertoo minkälaista jakaumaa sovellamme X:ään.
f on määritelty satunnaismuuttujan X saamilla arvoilla siten, että saa vain ei-negatiivisia arvoja ja
int_(a...b) f = P(a< X
Mutta meille ei oo opetettu integrointia vielä. Ei siis ratkee perus kombinatoriikalla ja sellasella.
... integrointia, mutta onko teillä ollut derivointia vielä? Integrointi yksinkertaisesti sen käänteisoperaatio.
Tuossa tehtävässä ei tarvita kuin nämä tiedot integroinnista:
Int(af bg) = a Int(f) b Int(g), jos a,b ovat vakioita.
Int(x^n) = x^(n 1) / (n 1) C , missä C on mielivaltainen vakio, paitsi jos n = -1.
Int_(a...b) f = (Int f)(b) - (Int f)(a) .
Kuten näet, tarvittavia tietoja oli varsin vähän, joten tehtävää ei kannata jättää tekemättä!
Kannattaa muistaa myös nämä:
Int(cos x) = sin x C
Int(sin x) = -cos x C
Int(1/x) = ln x C
Nyt on tosi kiire, mutta toivottavasti saat selkoa. Tehtävän voi tehdä ilman integrointia seuraavasti:
1) Huomaa, että välttämättä a > 0 tai a = 0.
2) Hahmottele funktion kuvaaja.
3) Todennäköisyys on sama asia kuin tiheysfunktion kuvaajan ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala. Tässä tapauksessa kyseinen ala on puolisuunnikas. Käytä siis puolisuunnikkaan alan kaavaa ja tietoa siitä, että kokonaistodennäköisyys on 1.
En muista (enkä ehdi tarkistaa), pitikö kertymäfunktio myös määrittää. Jos piti, laske pinta ala välillä [0, 1] olevaan tuntemattomaan kohtaan x asti. Näin saat x:stä riippuvan alan lausekkeen, joka on samalla kertymäfunktion määrittelylauseke välillä [0, 1].
Todennäköisyydet saat joko kertymäfunktiosta tai sitten hahmottelemalla oikeat alueet kuvaajaan ja laskemalla pinta-alat.
Huh.
Selvästi pienemmällä vaivalla kysyjä opettelee perusintegroinnin. Seuraavassa kokeessa ei luultavasti edes ole puolisuunnikkaita tarjolla, joten selvästikään menetelmä ei ole harjoittelun arvoinen.
Huomaa, ettei sinulla ole vielä mitään kokemusta käytännön tehtävistä. Et osannut edes piirtää funktion kuvaajaa. Piirrä kuva, niin huomaat että ala muodostuu suorakaiteesta ja kolmiosta. Suorakaiteen pinta-ala on a/2. Kolmion ala on 1/(2a). Näiden summa on 1 eli saadaan
a2 - 2a 1 = 0 Tästä a = 1.
Kysytty todennäköisyys on kuvion vasemanpuoleisen puolikkaan ala (x=1/2). Eli (suorakaide) 1/4 (kolmio) 1/8 = 3/8.
Graaffisella esityksellä oppii ymmärtämään, mistä oikein on kysymys. ash:n esittämä ratkaisu on älykkäämpi ja parempi kuin mekaaninen integrointi-ratkaisu ja ainoa oikea vastaus kysyjän esittämään kysymykseen.
Kukahan hölmöilee? Opi virheistäsi!
Entäs sitten, kun funktio on vaikkapa toisen asteen polynomi? Mitäs sitten tehdään?
Olen neljättä vuotta matikkaa Cambridgen yliopistossa, joten kaipa minulla jotain kokemusta on tehtävistä... ;)
Jos yleisempi metodi on lyhyt ja helppo, onko tarvetta kuvaajien piirtelyyn ym. ? Missä mielessä se ei sitten ole yhtälailla mekaanista? Tehtävä kun on mekaaninen.
Jopa yo-lautakunnan esimerkkivastauksessa on integroitu! He eivät siis itsekään tiedä 'ainoaa oikeaa ja älykästä vastausta'? :D
Graafisella esimerkillä oppii jotakin, jos koko konsepti on täysin uusi ja vieras --
Jos ihminen ymmärtää integroinnin määritelmän ja osaa tarvittaessa todistaa, että se antaa kyseisen pinta-alan, on epäekonomista ja turhaa piirtää kuvaajia tilanteen mukaan.
Voisitko ystävällisesti kertoa, missä tein 'virheen'?
Mikä on ongelmasi?
... trollaukseen ei kannattane vastata, mutta selkeytinpä asiaa lukijoille.
Lueppa ketju ja opi olemaan syyttämättä muita sekoiluistasi. Tuleva mahdollinen työnantajasikin saattaa lukea näitä täysin asiattomia ja täysin väärin perusteltuja vastauksiasi puolusteluissasi. Ja yritä pysyä asiassa!
... lukee. Minä edelleenkin odotan kovasti niitä esimerkkejä ja todisteita sekoiluistani sekä virheistä. :)
On helppo kiukutella ilman perusteita, että 'ite olet' -- ainakin jos on uhmaikäinen trolli.
Ei hän ole aikaisemminkaan koskaan pystynyt lukemaan aikaisempia kirjoituksiaan. Aina uutta papukaijamaista toistoa vaan peliin.
... ovat tosiaankin hyviä termejä kuvaamaan erään trollin käytöstä. Kun ei ole mitään järkevää sanottavaa, puhutaan puuta heinää ärsyttämistarkoituksessa.
... naurettavan helpon näköinen koe. Tuosta voisi helposti ratkaista kaikki 15 tehtävää, eikä aikaa olisi mennyt kuin puolet sallitusta.
Tuon pitäisi olla lyhyen matikan koe!
Tuo kommenttisi oli ärsyttävän ylimielinen. On varmasti totta, että pystyisit ratkaisemaan kaikki 15 tehtävää helposti, samoin pystyisin minä. Kuitenkin keskimääräinen lukiolainen on paljon meitä kokemattomampi matematiikan maailmassa. Uskoisin, että noilla tehtävillä saa lukiolaisten keskuudessa ihan hyvän mittarin sille, minkä verran oppilaat osaavat matematiikkaa.
Itse tekisin tuon tehtävän 15b eri tavalla. Minusta luontevampaa olisi käyttää AM-GM-epäyhtälöä kahdesti tai ensin AM-GM-epäyhtälöä ja sitten QM-GM-epäyhtälöä.
... koski pitkän matikan rappioitumista. Lyhyessä matikassa voisi kaikin mokomin olla palikkatehtäviä, mutta pitkän matikan kokeessa pitäisi olla monipuolisempia tehtäviä, eikä pelkkää helppoa tiedon soveltamista ylipitkillä koeajoilla.
Esim. Pitkän IB-matikan koe on tuohon verrattuna erinomainen, vaikkei erityisen vaikea ole sekään.
... mielestäni keskivertolukiolaisen pitäisikin tehdä lyhyt matikka (ja suurin piirtein sellainen koe kuin yllä nähty pitkän koe).
Sen sijaan matematiikkaan enemmän suuntautuneille pitäisi laatia selvästi haastavampi kokonaisuus.
Onkohan tuo mainitsemasi IB-koe mahdollisesti nähtävillä jossain?
Ja kun kerran keskusteluun liityin, niin otetaan vielä kantaakin. Olen nkorpin kanssa samoilla linjoilla pitkän matikan alamäestä. Oma YO-koe on vielä melko tuoreessa muistissa ja täytyy näin myöhemmin myöntää, ettei sekään erityisen haastava ollut. Vanhoja 80-luvun pitkän matikan kokeita kun tarkastelee, niin huomaa että tuolloin piti useimpia tehtäviä ajatella jo syvällisemmin.
... uhmata copyrighteja ja laittaa näkyviin niitä kokeita, mutta niitä kyllä löytää googlettamalla tyyliin 'past paper hl maths ib'
Kokeen formaatti on seuraava:
Paper 1: Kahden tunnin koe, jossa 20 lyhyttä perustehtävää, jotka pitää tehdä kaikki. Oikeasta vastauksesta saa täydet pisteet, mutta jos vastaus on väärin, työvaiheista voi saada osittaisia pisteitä.
Paper 2: Kolmen tunnin koe, jossa muistaakseni noin 6 pitkää, monivaiheista ja ajattelua vaativaa tehtävää. Valinnanvaraa on jonkin verran. Työvaiheet on oltava näkyvissä.
IA: Tämä koostuu kolmesta vuoden aikana tehdystä miniprojektista, joissa käytetään teknologiaa ym. avuksi.
Aikoinaan itse tuskailin aluksi vanhojen koetehtävien kanssa, sillä koetyyli oli minulle vieras.
Mutta loppukokeissa itsessään sain 95% oikein. Paper 1-kokeesta sain 115/120.
Koe ei ole kovin vaikea jos on oikeasti oppinut kaiken kunnolla. Mutta se on mielestäni paljon monipuolisempi kuin suomalainen pitkän matikan yo.
Ymmärtääkseni jossain vaiheessa on Suomessakin keskusteltu pitkän matematiikan kokeen rakenteen muuttamisesta. Yksi vaihtoehto olisi juuri IB-kokeen kaltainen: ensin liuta mekaanisia tehtäviä, joilla testataan laskurutiineja, ja sitten toinen mokoma soveltavampaa tavaraa, joilla mitataan varsinainen matematiikan osaaminen. En muista, mihin uudistus kilpistyi. Olikohan Solmu-verkkolehdessä jotain juttuakin tästä taannoin?
Mitä tulee IB:n ja lukion kokeiden vertailuun, ei taida pitkä matematiikka täysin vastata IB:n Higher Level -matematiikkaa. Käsittääkseni jälkimmäinen on merkittävästi laajempi oppiaine.
Ja vielä palaan alkuperäiseen aiheeseen. Pitkässä matematiikassa todennäköisyyslaskennan nykyinen paikka on kuudentena kurssina eli vektorilaskennan ja differentiaalilaskennan välissä. Siellä ei siis integraaleja käytetä. Käsiteltävät tiheysfunktiot ovat siksi pakosti sellaisia, että niiden määräämän alan saa jollain geometrian konstilla selville. Myöhemmässä Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssissa käsitellään todennäköisyyksien jms. määrittämistä integroimalla.