kun on näitä integrointi tehtäviä, niin sit ku on kaavaa parittomalle ja parilliselle, nii mistä sen tietää et millon se on parillinen ja millon pariton?
katotaanko se niistä kahesta numerosta jotka on integroimis merkin alla ja päällä? vai täh? voisko joku selittää tän mulle selvästi kiitos :)
katotaanko se niistä kahesta numerosta jotka on integroimis merkin alla ja päällä? vai täh? voisko joku selittää tän mulle selvästi kiitos :)
Vastaukset 6
Vanhimmat
Ks. esimerkiksi sivu 3:
http://www.it.lut.fi/mat/virtuaali/isom/isom/tskirja/realfkt.pdf
Ihan mielelläni autan, mutta nyt en kyllä saa kysymyksestä selvää. Siis esimerkiksi, mistä tietää, _mikä_ on parillinen tai pariton?
nooo vaikka tällanen
tän kaavan mukaan parillinen:
(a integraali -a) f(x) dx= 2 (a integraali 0)f(x)dx.
ESIM.(5 integraali -5) (x^4-6x^2 1) eli katotaanko se tosta kuutosesta?
täs se parittoman kaava eka:
(a integraali -a) f(x) dx=0.
ESIM. (pii integraali -pii) sin 3x dx=0
näkeekö sen tuosta kolmosesta?
Tässä on kyse integroitavan funktion parillisuudesta tai parittomuudesta. Sillä ei ole mitään tekemistä kokonaisluvuilta tutun parillisuuden käsitteen kanssa, vaikka nimitykset ovatkin samoja.
Funktion f sanotaan olevan parillinen, jos se toteuttaa ehdon f(-x) = f(x). Havainnollisesti funktion parillisuudessa on kyse siitä, että funktion kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen.
Integroidaan sitten parillista funktiota kohdasta -a kohtaan a. Koska parillisuuden takia kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen, ovat funktion kuvaajan ja x-akselin väleille [-a, 0] ja [0, a] rajaamat pinta-alat (*) tismalleen yhtä suuria. Siksi voidaan huoleti integroida vain välillä [0, a] ja kertoa tulos kahdella. Tämän takia siis pätee integraali(-a:sta a:han) f(x) = 2 integraali (0:sta a:han) f(x).
Funktion f sanotaan olevan pariton, jos se toteuttaa ehdon f(-x) = -f(x). Parittoman funktion kuvaaja on siis symmetrinen origon suhteen.
Integroitaessa paritonta funktiota kohdasta -a kohtaan a kumoavat integraalit väleillä [-a, 0] ja [0, a] toisensa. Siis kaikilla parittomilla funktioilla integraali(-a:sta a:han) f(x) = 0.
Mistä sitten tiedät, milloin funktio on parillinen tai milloin parillinen? Periaatteessa asia tulee todistaa edellisiin määritelmiin nojaten. Eli jos esimerkiksi haluat näyttää funktion f(x) = x^4 - x^2 on parilliseksi, sinun on osoitettava, että f(-x) = f(x).
Klassiset esimerkit parillisesta ja parittomasta funktiosta ovat f(x) = cos x ja f(x) = sin x. Valtaosa funktioista ei tietenkään kumpaakaan laatua, eivät parillisia eivätkä parittomia.
(*) Jos käyrä leikkaa x-akselin, ei integraalissa tietenkään ole kyse pinta-alasta, mutta ymmärtänet idean kuitenkin.
... funktio on parillinen, jos se on symmetrinen y-akselin suhteen
ja funktio on pariton, jos se on symmetrinen origon suhteen.
Parittoman ja parillisen funktion tulo on integroidessa tietysti nolla, kunhan otetaan yhtä suuret pätkät negatiiviselta ja positiiviselta x-akselilta. Eli integroidaan välillä [-n,n] tai sitten koko reaalilukujen yli.
Funktiot -1, 3, 0, c(vakiofunktio), |x|, cos(x), cos(nwt), x^2, x^4 ja exp(-x^2)ovat parillisia.
Funktiot: x, x^3, x^5, sin(x), sin(nwt) ja tan(x) ovat parittomia.
Parillinen x parillinen = parillinen
Pariton x pariton = parillinen
Pariton x parillinen = pariton
myös seuraavat kaavat pätevät:
(pariton)' = parillinen
(parillinen)' = pariton
Ja vastaavsti
(pariton)'' = pariton
(pariton)'' = parillinen
missä ' tarkoittaa derivaattaa
int[f(x)]dx = 0, välillä [-c,c], jos f(x) on pariton (c>0).
int[f(x)]dx = 2int[f(x)]dx, välillä [-c,c], jos f(x) on parillinen (c>0).