r,a,b in Z ja r>1
Tälläinen "pieni" lauseke, ja mitä se lähestyy, kun n lähenee ääretöntä
k_(n)(a rb) a(r-1)k_(n-1)
-------------------------,
(a b)k_(n) b(r-1)k_(n-1)
missä k_i=
(v_1)^n-(v_2)^n
-----------------------
(v_1)^(n-1)-(v_2)^(n-1)
missä taas v_1 = 1 sqrt(r) ja v_2 = 1-sqrt(r)
Toivottavasti saatte edes jotain selvää. Aika hankala kirjoittaa näin jakolausekkeita selvästi... ;)
Vastauksen pitäisi olla sqrt(r)
(Tähän lausekkeeseen päädyttiin, kun "yritettiin" todistaa luvun r neliöjuuren laskemisalgoritmia.)
Tälläinen "pieni" lauseke, ja mitä se lähestyy, kun n lähenee ääretöntä
k_(n)(a rb) a(r-1)k_(n-1)
-------------------------,
(a b)k_(n) b(r-1)k_(n-1)
missä k_i=
(v_1)^n-(v_2)^n
-----------------------
(v_1)^(n-1)-(v_2)^(n-1)
missä taas v_1 = 1 sqrt(r) ja v_2 = 1-sqrt(r)
Toivottavasti saatte edes jotain selvää. Aika hankala kirjoittaa näin jakolausekkeita selvästi... ;)
Vastauksen pitäisi olla sqrt(r)
(Tähän lausekkeeseen päädyttiin, kun "yritettiin" todistaa luvun r neliöjuuren laskemisalgoritmia.)
Vastaukset 7
Vanhimmat
Tuosta näkee heti, että k_i on vakio. Silloin jäljelle jää lauseke
(a rb a(r-1))/(a b b(r-1))=
(rb ar)/(a br). Kun n -> ääretön,
(rb ar)/(a br) -> (rb ar)/(a br).
Eipä tullut sqrt(r).
... k_i olisi vakio? En itse ainakaan näe syytä sellaiselle.
"k_i=
(v_1)^n-(v_2)^n
-----------------------
(v_1)^(n-1)-(v_2)^(n-1) "
Tuo lauseke ei riipu i:stä.
... On aika selvää, että tyyppi kirjoitti k_i vahingossa, mutta tarkoitti k_n.
Helppo virhe, enkä edes minä huomannut koko virhettä -- niin selvä tapaus.
... kirjoittamasi näyttää helvetilliseltä on se, että siihen päädytään loogisesti monien pikkuvaiheiden ja pikkutodistusten myötä. Voin auttaa sinua.
Esim. alat lukea sivulta 129 kirjasta
G.H. Hardy and E.M. Wright, Introduction to the theory of numbers, Oxford University Press
Sivut 129 ja 130 sisältyvät books.google.com esikatseluun, ja ovat avuksi. Lue ne nyt ensin.
Nyt pystyt jatkamaan todistuksen loppuun näillä vaiheilla:
1) Olkoon n:s konvergentti p_n/q_n. Todista seuraavat helpot lemmat (a-kohta induktiolla):
a) p_n*q_(n-1) - p_(n-1)*q_n = (-1)^(n-1)
b) p_n*q_(n-2) - p_(n-2)*q_n = (-1)^n*a_n
Siispä:
p_n/q_n = p_(n-2)/q_(n-2)=(-1)^n*a_n/[q_n*q_(n-2)]
(Tuossa siis sqrt(r) = [a_0,a_1,a_2,...] , kun kirjoitamme sen 'continued fraction' - notaatiolla.)
2) Huomaa, että parilliset konvergentit kasvavat monotonisesti ja parittomat vähenevät monotonisesti.
3) Nyt todista käyttäen edellisiä, että
|sqrt(r) - p_n/q_n| < 1/[q_n*q_(n 1)] < 1/q_n^2 .
Tämä kolmoskohta vaatii muutaman manipuoloinnin.
Tästä seuraa helposti, että konvergentit suppenevat haluamaasi, sillä q_n --> infty, kun n ---> infty.
***
Jos et kykene todistamaan jotakin välivaihetta itse, kerro!
... viimeinen vaihe on tietenkin, että jotenkin liität lausekkeesi
k_(n)(a rb) a(r-1)k_(n-1)
-------------------------
(a b)k_(n) b(r-1)k_(n-1)
konvergentin arvoon. Sinun tulee ensin tietää algoritmi, jolla saat selville muodon
sqrt(r)=[a_0,a_1,a_2,...]
Sellaisen algoritmin löytää helposti täältä, alkaen kohdasta (5): http://mathworld.wolfram.com/ContinuedFraction.html
Se k_i on kyllä erheellinen, mutta siinä mielessä, että:
k_n=
v_1^n-v_2^n
------------
v_1-v_2
Se mikä tuossa oli k_i on k_n/k_(n-1)=
(v_1)^n-(v_2)^n
-----------------------
(v_1)^(n-1)-(v_2)^(n-1)
Sain tämän nyt tehtyä! (kirjan avulla, kieltämättä ;))
Nimittäin tuo k_n/k_(n-1) -> v_1, kun n -> inf.
Muokkaamalla sitten tuota päälauseketta: Supistetaan k_n-1:llä, jolloin saadan kaikki k:t muotoon k_n/k_n-1, joka on sitten v_1, kun n->inf. sitten, kun v_1: arvo sijoitetaan ja otetaan sqrt(r) osoittajassa tekijäksi saadaan lausekkeen arvoksi tuo sqrt(r).