Tervehdys!
Olen tässä yrittänyt aukaista itselleni kompleksianalyysin avulla tehtyä todistusta isoperimetriselle epäyhtälölle tasossa. Skannasin todistuksen ja se löytyy täältä:
http://www.kovalevy.org/880421
Muut kohdat selviä tuossa todistuksessa, paitsi tuo viimeinen yhtäsuuruus. Ilmeisesti siinä on sovellettu jotenkin Greenin teoriaa, mutta en oikein pääse selville, että miten ?
Myös tuo "^"-operaattori on itselleni hieman hämärä. Tietäisikö joku kirjallisuutta siihen liittyen?
Kiitos!
P.S. Wikipediasta löytyy perustietoa isoperimetrisestä epäyhtälöstä täältä: http://fi.wikipedia.org/wiki/Isoperimetrinen_epäyhtälö
ja täältä
http://en.wikipedia.org/wiki/Isoperimetric_inequality
jos joku sattui kiinnostumaan. :)
Olen tässä yrittänyt aukaista itselleni kompleksianalyysin avulla tehtyä todistusta isoperimetriselle epäyhtälölle tasossa. Skannasin todistuksen ja se löytyy täältä:
http://www.kovalevy.org/880421
Muut kohdat selviä tuossa todistuksessa, paitsi tuo viimeinen yhtäsuuruus. Ilmeisesti siinä on sovellettu jotenkin Greenin teoriaa, mutta en oikein pääse selville, että miten ?
Myös tuo "^"-operaattori on itselleni hieman hämärä. Tietäisikö joku kirjallisuutta siihen liittyen?
Kiitos!
P.S. Wikipediasta löytyy perustietoa isoperimetrisestä epäyhtälöstä täältä: http://fi.wikipedia.org/wiki/Isoperimetrinen_epäyhtälö
ja täältä
http://en.wikipedia.org/wiki/Isoperimetric_inequality
jos joku sattui kiinnostumaan. :)
Vastaukset 11
Vanhimmat
Symbolilla ^ tarkoitetaan yleensä ristituloa.
Sen sijaan olen yrittänyt unohtaa vektorianalyysit ja kompleksianalyysit, sillä ne eivät ole hauskoja! ;) Jonkun integraalin kanssa nyhjääminen on inhaa.
Jos haluat tietää diskreetistä isoperimetrisestä epäyhtälöstä, mm. graafeille, voin antaa kombinatorisen todistuksen.
Olen sen verran saanut selville, että tuo ^-operaattori liittyy differentiaalimuotoihin (differential forms). Tavallaan siis tiedän mikä se on, mutta en vielä oikein ymmärrä sen hyötyjä ym.
Kyllähän nuo integraalit joskus osaa olla inhoja, kuten nyt =/...
Tuo diskreetin puolen kanssa en ole hirveästi ollut tekemisissä ja gradukin liittyy aika vahvasti analyysin puolelle. Kiitos kuitenkin tarjouksesta. :)
Oletko itse suuntautunut diskreetin matematiikan puolelle?
Joo, minä olen kombinatoriikkaan menossa. Se on hemmetin hauskaa, eikä ole yleensä mitään teknistä piipertämistä kuten integraaleja jne. Ainoastaan hauskoja, kombinatorisia todistuksia.
'^' käytetään aika kattavasti sekä crossproductin eli 'x' korvikkeena (vanhanaikainen muoto), tai sitten wedge productina algebrassa. Mutta jos olet löytänyt oikean määritelmän itsellesi, hyvä niin!
Joo.
^ käytetään joissain esityksissä joskus ristitulosymbolin sijasta, mikä tietty on harhaanjohtavaa. Ristitulo (cross product) on kahden 3- tai 7-vektorin tulo :VxV->V, kun taas wedge product (exterior product) ^ on kahden differentiaalimuodon tulo, joka tuottaa differentiaalimuodon.
Tulo ^ määrittyy Jacobin determinantin avulla.
Yksi opastus löytyy vanhasta kurssikirjasta:
Walter Rudin:Principles of Mathematical Analysis. Löytynee kirjastoista.
Formaalisti se määritellään tensoritulon avulla.
Wikistä tietty löytyy lisää.
Wedge product:
http://mathworld.wolfram.com/WedgeProduct.html
Differential k-form:
http://mathworld.wolfram.com/Differentialk-Form.html
Greenin kaava C:ssä:
integraali reunan S yli F(z,z*)dz =
-pintaintegraali pinnan S yli DF(z,z*)/Dz* dz^dz*
(missä symbooli D on osittaisintegraalin sijaan)
ja * on konjugointi. Eli osittaisderivaatta on laskettu konjugaatin Dz* mukaan.
kannattaa muistaa, että
|f|
Nämä kohdat olivat jo hallinnassa. :) Kiitos kuitenkin.
"Yksi opastus löytyy vanhasta kurssikirjasta:
Walter Rudin:Principles of Mathematical Analysis. Löytynee kirjastoista."
Pitääpä etsiä tuo kirja.
"Greenin kaava C:ssä:"
Juuri jotain tällaista olen etsinyt. Kiitos! Mistä itse löysit tuon? Tosin itse olen yrittänyt vasta netistä etsiä, mutta ei ole osunut tuota kompleksista muotoa kohdalle.
Suuret kiitokset vielä kerran! :)
Spiegelin Vanhasta Schaum's outline series: Complex Variables.
No tietysti se Schaumin kaava on modattu ton linkin vinkeillä siis tuo ulkotulo ^.
Eli Schaumissa se oikea puoli on
2i SS DF/Dz* dxdy
Jees monistoteorian kiilatulohan se siinä. Jos sulla on mitään vektorikenttiin liittyvää kirjaa tai prujua, niin sieltä sen löytää...
TTY:llä on mainio kurssipruju tähän aiheeseen: http://www.math.tut.fi/~ruohonen/VK.pdf
ja tosta materiaalista on muutenkin yleissivistävää hyötyä! :D
Kiitokset kaikille hyvistä vastauksista!
Lopultahan siinä kävi niin, että ^-operaattorin teoriaa en tarvinnutkaan mihinkään. Tulkinta dx^dy = dxdy riitti vallan mainiosti ja muunnoksessa kertoimeksi tulee tietysti Jacobin determinantti.
Greenin kompleksimuotoista kaavaakaan en tarvinnut, vaan kiersin sen jakamalla integraalin kahteen reaaliseen integraaliin, joista toisen kertoimena oli i. Tämän jälkeen sovelsin Greenin lausetta ja kasasin saannokset taas kompleksiseksi käyräintegraaliksi.
Jos jotakuta kiinnostaa, että miten sen tein, niin minulta löytyy LaTeXilla tehty "todistus".
Kiitokset vielä kerran avusta! :)