On se sitten ihmeellinen tämä suomi24-palstan editointi-ikkuna !
Kirjoitan tähän tavalliseen tapaan erään kaavan
1 x
f(x) = -------------
1 sinx cosx
Ja tämä on tulos, kun esikatselee kirjoitettua. Ei varmaankaan kukaan ole kiinnostunut selvittämään, mitä hölynpölyssä lukee. Joka rivi on romahtanut alueen vasempaan laitaan. Ennen nettiin siirtymistä juttu ilmeisesti menee jonkinlaisen tulkkausohjelman läpi, joka ei tunne sanojen välissä yhtä useampaa välilyöntiä, ja rivien alussa ei ainuttakaan.
Kaavan olisi ollut tarkoitus esittää lauseketta
..................... 1 x
........ f(x) = -----------
................. 1 sinx cosx
Tässä pisterivien tarkoituksena on olla pönkkänä, mikä estää rivien romahtamisen vasempaan laitaan. Ei tämäkään kauniilta näytä.
Näyttää siltä että palstan suunnittelija on arvellut, että tämä kyllä riittää; ei siellä kuitenkaan mitään 1 2=3 tason ylittävää tulla käsittelemään.
Kirjoitan tähän tavalliseen tapaan erään kaavan
1 x
f(x) = -------------
1 sinx cosx
Ja tämä on tulos, kun esikatselee kirjoitettua. Ei varmaankaan kukaan ole kiinnostunut selvittämään, mitä hölynpölyssä lukee. Joka rivi on romahtanut alueen vasempaan laitaan. Ennen nettiin siirtymistä juttu ilmeisesti menee jonkinlaisen tulkkausohjelman läpi, joka ei tunne sanojen välissä yhtä useampaa välilyöntiä, ja rivien alussa ei ainuttakaan.
Kaavan olisi ollut tarkoitus esittää lauseketta
..................... 1 x
........ f(x) = -----------
................. 1 sinx cosx
Tässä pisterivien tarkoituksena on olla pönkkänä, mikä estää rivien romahtamisen vasempaan laitaan. Ei tämäkään kauniilta näytä.
Näyttää siltä että palstan suunnittelija on arvellut, että tämä kyllä riittää; ei siellä kuitenkaan mitään 1 2=3 tason ylittävää tulla käsittelemään.
Vastaukset 12
Vanhimmat
Samaa ihmettelen minäkin. Onneksi on olemassa englanninkielisiä foorumeja, joihin saa latex-koodia mukaan, kuten http://www.artofproblemsolving.com/Forum/index.php. Valtaosa matemaatikoista osaa kuitenkin latexia, joten jos kirjoitat
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 4ac}}{2a}, niin moni korkeakouluopiskelija ymmärtää, mitä yrität sanoa. Tosin monikaan kysyjä ei välttämättä ole opetellut LaTeXia. Kysyin muistaakseni keran, miksi palstalle ei saa LaTeX-tukea, mutta vastausta en koskaan saanut.
1 x
f(x) = -------------
1 sinx cosx
kannattaa kirjoittaa muodossa
f(x)=(1 x)/(1 sin x cos x)
tai
f(x)=\frac{1 x}{1 \sin x \cos x}.
Aikomuksena oli kirjoittaa kaava
N
----
N ln(N)
a(N) = ----- ---------
ln(N) N
ln( -----)
ln(N)
Pönkitettynä
......................... N
...................... ------
........... N ......... ln(N)
a(N) = ----- ----------
......... ln(N) ......... N
.................... ln(------)
........................ ln(N)
Jos tämän kirjoittaisi yhdelle riville, niin kukaan ei ottaisi siitä selvää. Esittämäsi jälkimmäinen menetelmä olisi varmaankin hyvä, mutta sitä ei tavallisesti osata.
Kaava kuitenkin sanoo ennusteen sille, kuinka monta alkulukua on lukuun N mennessä. Vanha (jo kauan tunnettu) kaava on N/ln(N). Mutta tämä antaa kovin hitaasti tarkentuvan ennusteen. N saa olla ehkä n. 20-numeroinen luku, että päästään edes prosentin tarkkuuteen. En muista miten kaavaan päästiin, ehkä se on vain pelkkä hokkus-pokkus arvaus, eikä siksi kaikkia kiinnosta. Mutta tarkka se näyttää olevan. Lukuun N=4*10^9 mentäessä on 189961812 alkulukua. Ennuste N/ln(N) antaa 180917212 alkulukua ja ylläoleva kaava antaa ennusteeksi 190432385 alkulukua. Suhteellinen tarkkuus edellisessä tapauksessa on 0.9523 ja jälkimmäisessä 1.0025.
Mikään matikassa ei yleensäkään perustu arvauksiin, ellei kyseessä ole pelkkä konjektuura.
Voin laittaa todistusta tulemaan, jos jotain kiinnostaa.
Olisi kiinnostavaa nähdä todistus. Muuten ainakin yhden lukemani tietosanakirjan mukaan konjektuuri=matematiikassa avoin ongelma, konjektuura=todennäköisyysperusteiden mukaan ehdotettu lukutapa jossain teoksessa.
Äh, se ei ollutkaan kirjassanoi... Ehkäpä sekoitin sen muihin asiaan liittyviin helpompiin todistuksiin, esim. Bertrandin postulaatti (n ja 2n välissä on aina alkuluku) . Tämä tulos antaa jo osviittaa siitä, että (log n)/n on kohtuullisen hyvä arvio.
Haluamasi todistus ei ole sittenkään ihan helppo, mutta niitä on monta erilaista: Toiset vaativat kompleksianalyysiä (Hadamard 1896) ja toiset ovat muuten hieman koukeroisia (Erdös/Selberg 1948).
Esim. tuo jälkimmäinen löytyy täältä, ekan sivun lopusta alkaen:
http://www.pubmedcentral.nih.gov/picrender.fcgi?artid=1063042&blobtype=pdf
Konjektuuran ja konjektuurin eroista en tiedä mitään -- englannin kielessä 'conjecture'-sana on aika yksiselitteinen.
Luulisin, että molemmat viittaavat otaksumiin. Liekö niin, että toista käytetään enemmän silloin kun on osoitettu väitteen olevan totta todennäköisyydellä 1? Huomaa, että se on varsin kaukana varsinaisesta todistuksesta: esim. todennäköisyys, ettet osu tikkataulun keskipisteeseen on sekin 1.
Tämä luultavasti kuitenkin on vain pelkkää arvausta. Jossakin sanottiin, että jo arvion a(N)=N/ln(N) näyttäminen on vaikeaa. Joten en minä olisi pystynyt esittämääni lauseketta todistamaan. Aikaa asiasta on taas n. 30 vuotta, enkä muista miten siihen on päästy. Mutta tarkka se kuitenkin on ja helppo muistaa; siinä korjausterminä vain käytetään varsinaisen (vanhan) ennusteen antamaa tulosta itseensä soveltaen.
Kun katsoo, mitä todella tapahtuu, niin minusta N/ln(N) ei ole hyvä arvio (ainakaan pienillä N:n arvoilla, mutta suurilla N:n arvoilla se varmaankin on). Minun esittämäni kaava on (onneksi) sellainen että se lähestyy oikeaksi todistettua, kun n --> ääretöntä.
Kun N=10000 on alkulukuja tähän mennessä 1229 kpl. Kaava N/ln(N) antaa ennusteeksi 1086 kpl, suhteellinen tarkkuus on 0.88. Kerran muistelin, että mikä se arvio olikaan, ja kun tämä antoi näin huonon tuloksen (sellaisillakin N:n arvoilla, jolloin kaavan odottaisi olevan jo melko tarkka) arvelin että muistan väärin koko kaavan. Esittämäni kaava antaa arvioksi 1241, ja suhteellinen tarkkuus on 1.009.
Se, että jonkun osoittaminen on vaikeaa ei tarkoita, että se on pelkkä arvaus!! Miksi sen todistamisen vaikeutta olisi voitu edes arvioida, ellei sitä oltaisi ensin todistettu?
Kyse on kuuluisimmista teoreemista alkulukujen suhteen, ja jopa sen nimi on 'Alkulukuteoreema'. Hadamard todisti sen ensimmäisenä, vuonna 1896:
http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem
No doh, koko teoreema koskee asymptoottista käyttäytymistä. Eli teoreema koskee nimenomaan raja-arvoja kun n lähestyy ääretöntä.
Alkulukujen esiintymistiheys on lyhyellä välillä kohtalaisen satunnaista, joten olisi todella erikoista, jos löydettäisiin universaali arvio myös pienille n.
Jotakuinkin paras tulos mitä meillä on pienille n: Lukujen n ja 2n välissä on ainakin yksi alkuluku.
Viittasit hokkus-pokkuksella tuohon omaan kaavaasi, mistä ei saa mitään selvää?
Väärinkäsitys syntyi ehkä siitä, että puhuit kaavoista lomittain miten sattuu, tekemättä selväksi kumpaan viittasit.
... kannattaa varmaan laittaa palautetta, että välilyöntien huomioimista kaivataan ainakin matemaattisten aiheiden osalta.