Ihan oikeissa hommissa tuli eteen seuraavankaltainen ongelma:
Valitaan suorakulmion, jonka sivut ovat a ja b, sisältä kaksi satunnaista pistettä. Mikä on pisteiden etäisyyden odotusarvo.
Jos a riippuu b:stä sain (oikeastaan Mathematica) laskettua tälle ratkaisun suljetussa muodossa, mutta jos a ja b ovat mielivaltaisia ei ratkaisua tuntunut löytyvän.
Voisiko joku muu kuin suora lähestymistapa (= integrointi) ratkaista ongelman. Numeerinen ratkaisu täytyisi saada, koska sitä sovelletaan jatkossa.
Valitaan suorakulmion, jonka sivut ovat a ja b, sisältä kaksi satunnaista pistettä. Mikä on pisteiden etäisyyden odotusarvo.
Jos a riippuu b:stä sain (oikeastaan Mathematica) laskettua tälle ratkaisun suljetussa muodossa, mutta jos a ja b ovat mielivaltaisia ei ratkaisua tuntunut löytyvän.
Voisiko joku muu kuin suora lähestymistapa (= integrointi) ratkaista ongelman. Numeerinen ratkaisu täytyisi saada, koska sitä sovelletaan jatkossa.
Vastaukset 7
Vanhimmat
Analyyttisen ratkaisun idea: http://keskustelu.suomi24.fi/show.fcgi?category=2000000000000020&conference=4000000000000027&posting=22000000027279774
Numeerista integrointia varten on varmasti kehitetty eri menetelmiä kaksoisintegraalin arvioimiseksi.
Integraali tuntuu kuitenkin luonnollisimmalta tavalta ratkaista ongelma, sillä odotusarvon määritelmässä pomppaa vastaa integraalit. Muuta keinoa en keksi. Toisaalta jos Mathematicaan on implementoitu täydellisesti Richin algoritmi, se palauttaa analyyttisen ratkaisun jos ja vain jos sellainen on olemassa.
Tietysti Rischin algoritmistä on kyse.
Niinpä näkyikin.
Eräs 'oikea' ongelma on määrittää, kuinka kauan kestää keskimäärin poistua suorakulmion muotoisesta huoneesta oven sijaitessa tietyllä kohdalla, kun liikkumisnopeuden 'jakauma' on tunnettu. Tätähän en kysynyt, mutta tämäkin osoittautuu paljon visaisemmaksi kun ensisilmäyksellä luulisi. No ainakin minulle :)
Pitää tarkistaa tuo mainitsemasi algoritmi, kiitos neuvosta.
Jospa lasket etäisyyden neliön odotusarvon mielummin.
Eli sinulla on neljä tasajakutunutta muuttujaa
x ja y~U(0,a) z ja u~U(0,b)
Tällöin yhteistiheysfunktio f(x,y,u,v)=1/(a^2*b^2)
Ja tällöin
Odotusarvo E((x-y)^2 (z-u)^2)=(a^2 b^2)/6
Tämnä ei tietysti ole sama kuin mitä pyydettiin, eikä neliöjuuren ottaminen anna täsmällistä vastausta myöskään.
Jos taas haluat laskea nimenomaan E(SQRT(((x-y)^2 (z-u)^2)), niin hommassa esiintyvät integraalit ovat kinkkisempia, ratkaista suoraan. Myöskään apua ei anna siirtyminen neliulotteiseen polaarikoordinaatistoon, sillä laatikkomaisten alueiden käsittely on sellaisessa koordinaatistossa tukalaa.
Mutta mihin tarkoitukseen tarvitset kyseistä odotusarvoa, mieti voisiko ongelman kiertää esim. käyttämällä juurikin etäisyyden mittana euklidisen etäisyyden neliötä. Tulkinta muuttuu hieman, mutta ajanee asian. Esimerkiksi, tilastotieteessäkään ei käytetä poikkeaman mittana keskipoikkeamaa (vaikka se olisi loogisin valinta) vaan varianssia tai sen nelijöjuurta eli keskihajontaa. Eli tulkinta ero olisi itse asiassa liki sama kuin keskipoikkeamalla ja varianssilla.
Pitäisi tietää nimenomaan tuo matka - neliön tutkailu antanee liian monta ratkaisua.
Heh - tuntuu siltä, että ongelma on sukua ympyrän neliöimiselle :)
Onko tuo odotusarvo tarpeen olla ihan eksakti? Eiks odotusarvon luonteeseen kuulu käytännön tilaneessa toleranssia?
Niin tuli mieleen, että Monte Carlo -menetelmällä saisi ainakin tunnettujen sivujen ollessa kyseessä jonkunlaisen todennäköisyys/odotusarvon.
Mutta jos kysymyksesi siis koskee analyyttistä ratkaisua, niin ei sitten sen enempää.
Olen käyttänyt simuloinnilla saatuja estimaatteja, mutta kokonaisongelmassa on mukana useita erikokoisia suorakulmioita. Eli varsinaisen ongelman parametreina ovat suorakulmioiden koot ja sijainnit.