Määritellään 'yleistetty' binomikerroin B(n,k;p) tavallisen binomikertoimem tapaan, mutta siinä kertomat korvataan lausekkeilla n! --> n(n-p)(n-2p)... Tuloa jatketaan niin pitkään kuin pysytään positiivisella puolella. p on jokin n:ää pienempi kokonaisluku.
'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' n(n-p)(n-2p)(n-3p)...
B(n,k;p) = --------------------------------------
'''''''''''''''''''''''' k(k-p)(k-2p)...(n-k)(n-k-p)(n-k-2p)...
Kun n ja p kiinnitetään ja k:ta muutellaan, saadaan yleistetty binomijakautuma. Kun p=1, se on tavallinen binomijakautuma.
Etukäteen arvaillen sen kuvittelisi olevan vain murtolukupisteisiin tihennetty binomijakautuma, joka noudattaa binomijakautuman muotoa. Mutta tässä erehdyin.
Yleistetty binomijakautuma onkin voimakkaasti aaltoileva. Aaltoilun voi ajatella tapahtuvan kahden binomimuotoisen verhokäyrän välissä, siten että aaltoilun sykli on p.
Monelle binomijakautuma on tuttu, siinä kaksi vierekkäistä binomikerrointa eivät (ainakaan jakautuman keskivaiheilla) eroa paljon toisistaan, esim. B(600,301)/B(600,302)=(noin)1.01. Mutta yleistetylle binomijakautumalle esim. B(600,301;30)/B(600,302;30)=(noin)2.0.
Jakautuma on helppo ohjelmoida ja piirtää sitä koskeva kuvaaja. Silloin näkee, kuinka suuresti jakautuman muoto riippuu siitä mikä on jakojäännös jaossa n/p.
Aivan saman tapainen ilmiö nähdään, kun trinomijakautumassa tehdään samanlainen kertomien muutos. Saadaan kuvioita, joissa 'aaltoilu' näkyy eriasteisia kolmion muotoisina rakenteina. Nytkin pinnan muoto riippuu voimakkaasti jakojäännöksestä jaossa n/p.
Sille, joka on kiinnostunut matemaattisesta taiteesta, olisi vielä yksi jakautuma. Kompleksinen binomijakautuma. Se määritellään ihan tavallisen binomijakautuman tapaan
'''''''''''''''''''''''''''' z!
B(z,w) = -----------
''''''''''''''''''''' w!*(z-w)!
mutta nyt z ja w ovat kompleksilukuja. (Siihen, mitä tämä saattaisi tarkoittaa, en osaa sanoa, mutta hienoja kuvia sillä saa aikaan.)
Tein ohjelman, jossa B(z,w):tä voi tutkia Re- ja Im-akselin suunnassa sekä kompleksitason ellipseillä. (B(z,w):n arvoja ei pidä koko ajan piirtää samalla värillä, vaan pantava kompleksiluvun(kompleksivektorin) väri hitaasti muuttumaan. Muuten esityksestä tulee sekava ja vaikeasti tajuttava.)
'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' n(n-p)(n-2p)(n-3p)...
B(n,k;p) = --------------------------------------
'''''''''''''''''''''''' k(k-p)(k-2p)...(n-k)(n-k-p)(n-k-2p)...
Kun n ja p kiinnitetään ja k:ta muutellaan, saadaan yleistetty binomijakautuma. Kun p=1, se on tavallinen binomijakautuma.
Etukäteen arvaillen sen kuvittelisi olevan vain murtolukupisteisiin tihennetty binomijakautuma, joka noudattaa binomijakautuman muotoa. Mutta tässä erehdyin.
Yleistetty binomijakautuma onkin voimakkaasti aaltoileva. Aaltoilun voi ajatella tapahtuvan kahden binomimuotoisen verhokäyrän välissä, siten että aaltoilun sykli on p.
Monelle binomijakautuma on tuttu, siinä kaksi vierekkäistä binomikerrointa eivät (ainakaan jakautuman keskivaiheilla) eroa paljon toisistaan, esim. B(600,301)/B(600,302)=(noin)1.01. Mutta yleistetylle binomijakautumalle esim. B(600,301;30)/B(600,302;30)=(noin)2.0.
Jakautuma on helppo ohjelmoida ja piirtää sitä koskeva kuvaaja. Silloin näkee, kuinka suuresti jakautuman muoto riippuu siitä mikä on jakojäännös jaossa n/p.
Aivan saman tapainen ilmiö nähdään, kun trinomijakautumassa tehdään samanlainen kertomien muutos. Saadaan kuvioita, joissa 'aaltoilu' näkyy eriasteisia kolmion muotoisina rakenteina. Nytkin pinnan muoto riippuu voimakkaasti jakojäännöksestä jaossa n/p.
Sille, joka on kiinnostunut matemaattisesta taiteesta, olisi vielä yksi jakautuma. Kompleksinen binomijakautuma. Se määritellään ihan tavallisen binomijakautuman tapaan
'''''''''''''''''''''''''''' z!
B(z,w) = -----------
''''''''''''''''''''' w!*(z-w)!
mutta nyt z ja w ovat kompleksilukuja. (Siihen, mitä tämä saattaisi tarkoittaa, en osaa sanoa, mutta hienoja kuvia sillä saa aikaan.)
Tein ohjelman, jossa B(z,w):tä voi tutkia Re- ja Im-akselin suunnassa sekä kompleksitason ellipseillä. (B(z,w):n arvoja ei pidä koko ajan piirtää samalla värillä, vaan pantava kompleksiluvun(kompleksivektorin) väri hitaasti muuttumaan. Muuten esityksestä tulee sekava ja vaikeasti tajuttava.)
Vastaukset
Vanhimmat
Ei vielä vastauksia
Aloittaja odottaa vastauksia. Kerro oma näkemyksesi ensimmäisenä.