Tällainen tehtävä - ei helppo ollenkaan - palstalaisten ratkottavaksi. Älkääs sitten ihan ensimmäiseksi googlatko :-;
Kahdestatoista kuulasta yksi on eripainoinen kuin muut. Kuinka monta punnitusta tarvitaan ns. kuppivaakaa käyttäen, että saadaan selville mikä kuulista on eripainoinen kuin muut ja se onko kuula kevyempi/painavampi kuin muut.
Kuppivaaka tunnetaan myös nimellä tasapainovaaka.
Kahdestatoista kuulasta yksi on eripainoinen kuin muut. Kuinka monta punnitusta tarvitaan ns. kuppivaakaa käyttäen, että saadaan selville mikä kuulista on eripainoinen kuin muut ja se onko kuula kevyempi/painavampi kuin muut.
Kuppivaaka tunnetaan myös nimellä tasapainovaaka.
Vastaukset 16
Vanhimmat
D:[Kuppivaaka tunnetaan myös nimellä tasapainovaaka.]
Nykyään lähes kaikki käytännön vaa'at ovat "yksikuppisia" yläkuppivaakoja, missä vastapainoja ei ole ainakaan näkyvissä, joten tuo täsmennyksesi on erittäin tarpeellinen. Siis kaksikuppinen tasapainovaaka (orsivaaka) tarvitaan tähän tehtävään.
... taktiikallani 4 punnitusta riittää, mutta en spoilaa vielä ratkaisutapaa. Jätän myös avoimeksi onko tämä paras tulos.
Vinkki. Punnitusten jälkeen on syytä merkata 'oikeaan ryhmään' kuuluvat kuulat. Ja kannattaa ryhmitellä kuulia.
Itselläni meni aikaa tuntitolkulla ongelman ratkaisemiseen (ehto kolmella punnituksella oli annettu).
Punnitaan ensin 6 ja 6 ja toinen painaa enemmän. Punnitaan siitä sit 3 ja 3. Taas toinen painaa enemmän. Punnitaan siitä 2. Jos toinen painavampi, niin se. Jos painaa yhtä paljon, niin raskaampi on se kolmas. Eli kolme punnitusta.
Et nimittäin tiedä etukäteen onko väärä kolikko painavampi vai kevyempi. Se oli lähtökohta. (Jos tiedettäisiin että feikki on normaalia painavampi, tuo olisi tietty helppo ratkaisu.)
Siksi 6 vs 6 punnitus ei anna sinulle mitään olennaista tietoa.
Vihje: Jokaisella punnituksella voi olla korkeintaan kolme lopputulosta: menee tasan, vasen puoli laskee, oikea puoli laskee.
Siispä järkevin tapa aloittaa on jakaa kolikot kolmeen 4 kolikon ryhmään. Tuosta lähtökohdasta on suhteellisen helppo löytää 4 punnituksen ratkaisu, mutta 3 punnitusta vaatii vähän enemmän ajattelua.
Miksi 3 punnitusta on paras mahdollinen ratkaisu? Yhdellä punnituksella vähennät vaihtoehdot korkeintaan kolmasosaan aiemmasta. log_3 (12) > 2, joten kaksi punnitusta ei voi riittää.
Joskus kolmekymmentä vuotta sitten tätä pähkäilin, mutta silloin tiedettiin, että yksi oli kevyempi.Kokeillaan nyt kuitenkin samaa menetelmää kuin silloinkin.
Ekaan puntariin 4 ja 4.
Oletetaan nyt heti, että vaaka heilahtaa ja löydetään 4 Painavaa ja 4 Kevyttä ja 4 Normaalia.
toiseen puntariin
A)--- P1,P2,K1.......P3,K2,N1
tämä
alas
P1 tai P2 on painava, tai K2 on kevyt.Verrataan P1 ja P2.
B)--- P1, P2,K1......P3,K2,N1
tämä ylös
P3 on painava, tai K1 on kevyt. Verrataan P3 ja N2
C)--- P1,P2,K1....P3,K2,N1
vaaka tasan
P4 on painava,tai (K3 tai K4) on kevyt.Verrataan K3 ja K4.
Siinä tapauksessa, että vaaka ihan alussa oli tasan on 8 normaalia ja 4 epäselvää, ja silloin laitetaan puntariin
E1, E2, E3......N1, N2, N3, ja loppu on simppeli..
Eiköhän se ollut siinä.
Itse ratkaisin ensin kokeilemalla 6 6 jakoa todeten sen mahdottomaksi. Siitä sitten 5 5 2 jne.
Mutta minulle oli annettu tieto, että kolmella punnituksella ongelma ratkeaa. Kuinkahan monelle maailman ihmisistä olisi edes tullut mieleen tämä?
Punnitusten vähimmäismäärälle on suhteellisen helppo löytää minimiraja, kuten tuossa aiemmin joku taisi näyttääkin. Lieneekö ongelmalla mielekästä 'formaalia' matemaattista vastinetta?
kysymykseen vastaus on: neljä punnitusta, jos kuula
on kevyempi muita, kolme punnitusta jos raskaampi.
Perustellaan näin:
Nimetään kuulat kirjaimilla a,b,c,...k ja l.
Jaetaan nimetyt kuulat kahteen 6:n kuulan ryhmään
ja nimitetään ryhmiä X:ksi ja Y:ksi.
1. Punnituksessa punnitaan kaikki kuulat, tällöin
tiedetään eripainoisen olevan toisessa X:n tai
Y:n ryhmässä, siten että kevyempi on siinä
vaakakupissa, joka on ylempänä ja painavampi
tietysti alempana olevassa vaakakupissa.
2. Punnituksessa punnitaan vain ensimmäisen
punnituksen painavamman ryhmän kuulat.
2.1 Jos vaakakupit ovat tasapainossa, tiedetään
eripainoisen kuulan olevan siinä X tai Y
ryhmässä joka oli ensimmäisessä
punnituksessa ylempänä, ja olevan kevyempi.
2.2 Jos vaakakupit ovat epätasapainossa,
tiedetään kuulan olevan muita painavampi ja
kuula kuuluu niihin kolmeen alempana
olevassa vaakakupissa olevaan kuulaan.
3. Punnitus: punnitaan 2.2 punnitustapauksen
kuulista 2 kuulaa.
3.1 jos epätasapaino, se kuula on etsitty
painavampia eripainoinen kuula 12:sta,
joka on alemmassa vaakakupissa.
3.2 jos tasapaino punnituksessa, etsitty
painavampi kuula on punnitsematta jätetty.
3. Punnitus, mikäli punnitustilanne 2.1 tapahtui.
eli etsitty kuula onkin kevyempi kuin muut
11 kuulaa. Punnitaan ylempänä olleen ryhmän
6 kuulaa, molemmissa vaakakupeissa on 3 kuulaa.
3.1 Kevyempi kuula on ylempänä olevan vaakakupin
kolmen kuulan joukossa.
4. Punnitus: punnitaan edellisen punnituksen
kolmesta kuulasta kaksi ylempänä olleesta
vaakakupista.
4.1 Jos tasapaino kevein kuula on punnitsematta
jätetty
4.2 Jos epätasapaino, kevein kuula ylempänä
olevassa kupissa.
Mielenkiintoiseksi asian tekee se, että kyseessä ei
ole matemaattinen ongelma, vaan käytännöllinen
ongelma. Tällaisia asioita pohtivat muun muassa
kullankaivajat.
Logiikalla saadaan muitakin ratkaisuja, jospa
nkorppi kertoisi niistä.
Kuten huomasit, jakamalla kuulat aluksi kahteen kuuden kuulan ryhmään tarvitaan enemmän kuin kolme punnitusta.
Jaa kuulat kolmeen neljän kuulan ryhmään ja pähkäile siitä eteenpäin. Myös jo punnittuja kuulia tarvitsee käyttää uusintapunnituksissa. 'Samapainoisten' kuulien ryhmän 'käsite' on ratkaisevassa asemassa.
Jos kyllästyttää, niin ratkaisu löytyy helposti googlaamalla 'twelve coins'.
tuoksahtaa homehtuneelta!
Missä, kysymyksen asettelussa, esiintyy kolmen punnituksen ehto?
Niittaan lisää Doctöör-nappeja nahkarotsiin, koska jos yliopiston maikka tekee tuollaisen kysymyksen matikanloppukokeeseen, tekee hän silloin tarpeetonta haittaa opiskelijalle.
Kuinka monta punnitusta tarvitaan... Eikö tämä ole ihan selvästi sanottu. Yhdellä tai kahdella ei voi selvitä ja tämän voi näyttää suhteellisen helposti.
Ei tämä mikään matematiikan loppukoetehtävä ole - ehkä jonkun matematiikkakilpailun tehtäväksi sopiva.
Ei leikistä kannata suuttua ;-D
Tässä sinulle supisuomalainen vastaus, kolme punnitusta riittää, jos orsivaaka on kunnossa ja kuulat pystytään merkitsemään tai pussittamaan.
Ensiksi nimetään kuulat kirjaimilla a,b,c..k ja l.
Jaetaan punnittavat kolmeen neljän kuulan ryhmään.
1. Punnitus, laita orsivaakaan kuppeihin kuulat a,b,c ja d vasemmanpuoleiseen ja kuulat e,f,g ja h.
1.1. Jos vaaka on tasapainossa, eripainoinen kuula on ryhmässä i,j,k ja l.
1.2. Jos epätasapaino ja vasemmanpuoleinen kuppi painuu alas, tiedetään eripainoisen kuulan olevan punnittavissa ryhmissä siten, että kevyempi on ylhäällä olevan kupin ryhmässä ja painavampi alhaalla olevan kupin ryhmässä.
2. Punnitus, jos ensimmäinen punnitus tuottaa tuloksen 1.2. Laita vasemmanpuoleiseen kuppiin painavamman ryhmän kuulat a ja b sekä kevyemmän ryhmän e ja f kuulat, sekä oikeanpuoleiseen kuppiin
painavan ryhmän c kuula ja punnitsemattoman ryhmän kuulat i,j ja k kuulat.
2.1. Jos tasapaino, niin kuula d on muita 11 kuulaa painavampi tai kuulat g ja h muita kuulia kevyempiä.
2.2. Jos epätasapaino niin silloin kuulat a tai b ovat muita kuulia painavampia taikka kuula c on muita painavampi.
3. Punnitus, jos tapaus 2.1 edellisessä punnituksessa. Laita vasemmanpuoleiseen kuppiin kuula g oikealle puolelle kuula h.
3.1. Jos tasapaino, kuula d on muita 11 kuulaa painavampi.
3.2. Jos epätasapaino, ylempänä olevassa kupissa oleva kuula on muita 11 kuulaa kevyempi.
3. Punnitus, jos tapaus 2.2 edellisessä punnituksessa, laita vasemmanpuoleiseen kuppiin
kuula a ja oikeanpuoleiseen b
3.1. Jos tasapaino, kuula c muita 11 kuulaa painavampi.
3.2. Jos epätasapaino alempana olevassa kupissa on muita 11 kuulaa painavampi kuula.
2. Punnitus, jos ensimmäinen tuotti tuloksen 1.1, tällöin tiedetään kaikki 8 kuulaa samanpainoisiksi ensimmäisestä punnituksesta. Laita vasemmanpuoleiseen kuppiin kuulat i ja j sekä oikeanpuoleiseen kuulat k ja a
2.1. Jos tasapaino, kuula l eripainoinen.
2.2. Jos epätasapaino, tiedetään alemmassa kupissa olevat kuulat muita painavammiksi ja ylemmässä olevat muita kevyemmiksi.
3. Punnitus tapauksien 1.1 ja 2.1 perusteella. Laita vasemmanpuoleiseen kuppiin kuula a vasemmalle ja kuula l oikealle.
3.1. Jos tasapaino, tilanne mahdoton.
3.2. Jos epätasapaino, siten että kuula l on alempana olevassa kupissa on kuula l tällöin muita 11 kuulaa painavampi. Jos taas se on ylempänä on se muita kuulia kevyempi.
3. Punnitus, tapauksien 1.1 ja 2.2. perusteella:
Laita vasemmanpuoleiseen kuula i ja oikeanpuoleiseen kuula j.
3.1. Jos tasapaino, kuula k muita 11 kuulaa kevyempi
3.2. Jos epätasapaino alempana olevassa kupissa on muita kuulia painavampi kuula.
Saat miettiä menikö ihan pilkulleen oikein, mutta periaate lienee oikea. Tästä eteenpäin pääsee vain labratutkimuksella eli hankitaan empiiristä tietoa tekemällä punnitukset orsivaakalla.
Mölkhy koetti kertoa samaa,mutta...
Hauskaa joulunodotusta! ;=)
Lisäksi tällä saa mukavasti jouluaaton illaksi, jos ei muuta niin ilmiriidan, aikaiseksi esittämällä tehtävän koulut käyneille ala-asteen matikankokeen tehtävänä.
Palstalaiset voisivat itse kukin etsiä lisää tällaisia aiheuttamaan hämmennystä. Kun tuo Monty Hall näyttää olevan tiukka paikka muutamille ;-)
Mikään yllä olevista vastauksista ei ole oikea. En kerro miksi. Jokainen vastausyrityksistä on vasta ongelman hahmottelua, ei sen ymmärtämistä. En vaivaudu selvittämään oikeaa ratkaisua, jottei mene liian helpoksi.
Tuossa yksi lisää
http://aijaa.com/6KXdSy
Punnitaan ensin 4 kuulaa kummallakin puolella. Jos toinen puoli painuu, merktaan painuvan puolen kuuliin kuhunkin P ja nousevan puolen kuuliin kuhunkin K. Neljään ei punnittuun kuulaan merkataan O. Silloin joko neljässä P-kuulassa on yksi painavampi tai neljässä K-kuulassa on yksi kevempi.
Seuraavaksi punnitaan eri puolilla kuulat PPKK ja PKOO. Jos vasen puoli painuu, on syyllinen joko toinen vasemmalla puolella oleva P-kuula tai oikealla puolella oleva K-kuula. Jos oikea puoli painuu, on syylinen joko toinen vasemmalla puolella oleva K-kuula tai oikealla puolella oleva P-kuula. Jos on tasapainossa, on syyllinen joko ulosjätetty K- tai P-kuula. Näissä kolmessa tapauksessa punnitaan seuraavaksi joko kaksi P-kuulaa, kaksi K-kuulaa tai P-kuula ja O-kuula, jolloin eripainoinen saadaan selville.
Jos menee tasan ensimmäsiessä punnituksessa, on helppoa saada eripainoinen selville ulosjätetyistä kahdella punnituksella.