En tajua yhtä vektoreiden lineaarisesta riippuvuudesta:
Vektoreist a, b, c tiedetään, että a b ja a c ovat lin. riippumattomia. Voidaanko tästä päätellä, että a, b, c ovat lin. riippumattomia?
Eikös määritelmän mukaan ole
h (a b) k (a c) = O
= ha hb ka kc=O
eikö tässä ole nyt h=k=0 annetun tiedon perusteella?
Vastauksena on "ei voida", joten johtuuko tämä siitä, että koska a on kaksi kertaa eri kertoimen kanssa lausekkeessa, niin lause ei ole enää lin. riippuvuuden määritelmän mukainen?
Vektoreist a, b, c tiedetään, että a b ja a c ovat lin. riippumattomia. Voidaanko tästä päätellä, että a, b, c ovat lin. riippumattomia?
Eikös määritelmän mukaan ole
h (a b) k (a c) = O
= ha hb ka kc=O
eikö tässä ole nyt h=k=0 annetun tiedon perusteella?
Vastauksena on "ei voida", joten johtuuko tämä siitä, että koska a on kaksi kertaa eri kertoimen kanssa lausekkeessa, niin lause ei ole enää lin. riippuvuuden määritelmän mukainen?
Vastaukset 9
Vanhimmat
Lineaarisen riippuvuuden (LR) määritelmässä jokaisen vektorin kerroin on oma kertoimensa.
Elikä jotta a,b,c olisivat LR :
ra sb tc = 0 ===> r=s=t= 0
Tuon on toteuduttava ilman mitään erillisiä rajoituksia r,s,t suhteen. Sinun pitää osoittaa, että kaikista mahdollisista (r,s,t) kolmikoista ainoastaan (0,0,0) kelpaa.
Itse tarkistit pelkän tason (h k, h, k) kelpaavuuden, mikä ei riitä. Toisin sanoen, kaikkia pisteitä (r,s,t) ei voi kirjoittaa muodossa (h k, h, k), joten et ole myöskään tarkistanut kaikkia pisteitä!
Vastaukseksi ei valitettavasti riitä mikään muu kuin sopiva vastaesimerkki: eli etsi sopivat vektorit a,b ja c.
Mutta olet tehnyt kaiken tähän mennessä oikein:
Otetaan kolme vektoria tasolla (h k, h, k) , vaikkapa a=(1,1,0), b=(1,0,1), ja c=(2,1,1).
Nuo eivät ole LR, sillä c = a b.
Mutta a b = (2,1,1) ja a c = (3,2,1). Nämä ovat LR, sillä ne eivät ole samansuuntaisia. Eli a b ei ole k(a c), missä k on vakio. (Jos haluat, voit todistaa tämän vaikkapa laskemalla niiden ristitulon, ja toteamalla, ettei se ole 0.)
Ristitulon laskeminen ei ole edes tarpeellista.
Oletetaan, että (2,1,1) = k (3,2,1) .
Nyt 1 = k, kolmannen kordinaatin perusteella.
Mutta 2 ei ole 3 ekassa kordinaatissa. Siispä vektorit eivät ole samansuuntaisia.
Eikös lineaarisesti riippumattomat vektorit ole kohtisuorassa toisiaan vastaan, eli kulman kosini on nolla. Nyt riittäisi, että osoitetaan, onko vai ei?
Tulipahan laskijana, ei todistajana, ensimmäiseksi mieleen.
Jos vektorit ovat kohtisuoraan toisiaan vastaan, niin tällöin ne ovat lineaarisesti riippumattomia. Mutta kaikki lineaarisesti riippumattomat vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vasten.
Toimiikin siis vain toiseen suuntaan. Kiitos!
... muodostanut vielä intuitiota LR määritelmästä.
Vektorit ovat LR, jos yhtäkään niistä ei voi muodostaa ottamalla lineaarikombinaatiota muista vektoreista. (Lineaarikombinaatio tarkoittaa 'painotettua summaa'.)
Mm. kaksi vektoria ovat LR, kunhan ne eivät ole samansuuntaisia. Niiden ei tarvitse olla kohtisuoria, kunhan niiden välillä on mikä tahansa ei-nolla kulma!
a b ja a a.
jos a ja b ovat LR ,niin a b a a ovat LR ja c=a ja c ja a eivät LR.
Kysymyksestä on aikaa, mut haluun silti vastata :)
Ei voida, tämän voi todistaa esimerkin avulla.
a = 1/2 i
b = 1/2 i
c = -1/2 i j
a b = i
a c = j
Vektorit ovat suorassa kulmassa ja varmasti lin.
riippumattomia.
a ja b ovat identtiset, eli lin. riippuvaisia,
kerroin = 1.