Uuden vuoden kunniaksi on ideana järjestää pulmasarja, jonka vastaukset (nimimerkin kera) pitää lähettää osoitteeseen [email protected] . Seuraavan viikon jaksossa paljastetaan edellisen viikon parhaat ratkaisut ja nimimerkit. :)
Arvostelussa otetaan huomioon tähtimäärät sekä vastausten kekseliäisyys -- omia vastauksiaan saa korjailla aina 1.1. klo 15 asti.
Pyyntö: Jotta homma toimisi, älkää laittako ratkaisuja suoraan tähän ketjuun -- Pikkuvihjeitä ja mielipiteitä tehtävistä voi kirjoittaa. Jos tiedät vastauksen entuudestaan, voit tunnustaa tämän ilman miinuspisteitä.
Jos joku osallistujista on innokas järjestämään oman jaksonsa Viikon Pulmiin, se onnistunee -- ja voin antaa vinkkejä lähteisiin -- mutta otetaan korkeintaan yksi jakso per viikko.
1 tähti * : X = {1,...,2n}. Valitaan X:n osajoukko Y. Kuinka suuri Y:n tulee vähintään olla, näissä kahdessa eri tapauksissa:
a) Y sisältää kaksi lukua, joista toinen jakaa toisen.
b) Y sisältää kaksi lukua ilman yhteisiä tekijöitä.
2 tähteä ** : Tasa-arvoa vaalivassa kunnassa on n klubia, ja jokaisen klubin jäseninä yhtä paljon miehiä kuin naisia. Jos valitaan mitkä tahansa kaksi eri klubia, niillä ei ole täsmälleen samoja jäseniä, mutta yhtä monta naista kuin miestä kuuluu molempiin. Kuinka monta klubia kunnassa voi olla?
3 tähteä ***: Täyteen varattuun lentokoneeseen saapuvat kaikki matkustajat -- mutta ensimmäinen reissumies on unohtanut istumapaikkansa. Hän istuu satunnaiseen paikkaan. Matkustajat astuvat koneeseen vuorotellen, ja istuvat oikealle paikalleen -- paitsi jos oma paikka on viety, jolloin he valitsevat istumapaikkansa satunnaisesti. Mikä on todennäköisyys, että viimeinen matkustaja istuu oikealla paikallaan?
4 tähteä **** : Arvotaan väliltä [0,1] satunnaisesti äärellinen määrä lukupareja, joista muodostetaan intervalli-joukkoja [a,b]. Mikä on todennäköisyys, että yksi intervalli osuu kaikkiin muihin?
5 tähteä ***** : Ympyrän sisällä on kaksi pistettä, M (mies) ja L (leijona). Leijona jahtaa miestä, ja molemmilla on sama huippunopeus. Onko leijonalla taktiikka, jolla saada mies kiinni?
Arvostelussa otetaan huomioon tähtimäärät sekä vastausten kekseliäisyys -- omia vastauksiaan saa korjailla aina 1.1. klo 15 asti.
Pyyntö: Jotta homma toimisi, älkää laittako ratkaisuja suoraan tähän ketjuun -- Pikkuvihjeitä ja mielipiteitä tehtävistä voi kirjoittaa. Jos tiedät vastauksen entuudestaan, voit tunnustaa tämän ilman miinuspisteitä.
Jos joku osallistujista on innokas järjestämään oman jaksonsa Viikon Pulmiin, se onnistunee -- ja voin antaa vinkkejä lähteisiin -- mutta otetaan korkeintaan yksi jakso per viikko.
1 tähti * : X = {1,...,2n}. Valitaan X:n osajoukko Y. Kuinka suuri Y:n tulee vähintään olla, näissä kahdessa eri tapauksissa:
a) Y sisältää kaksi lukua, joista toinen jakaa toisen.
b) Y sisältää kaksi lukua ilman yhteisiä tekijöitä.
2 tähteä ** : Tasa-arvoa vaalivassa kunnassa on n klubia, ja jokaisen klubin jäseninä yhtä paljon miehiä kuin naisia. Jos valitaan mitkä tahansa kaksi eri klubia, niillä ei ole täsmälleen samoja jäseniä, mutta yhtä monta naista kuin miestä kuuluu molempiin. Kuinka monta klubia kunnassa voi olla?
3 tähteä ***: Täyteen varattuun lentokoneeseen saapuvat kaikki matkustajat -- mutta ensimmäinen reissumies on unohtanut istumapaikkansa. Hän istuu satunnaiseen paikkaan. Matkustajat astuvat koneeseen vuorotellen, ja istuvat oikealle paikalleen -- paitsi jos oma paikka on viety, jolloin he valitsevat istumapaikkansa satunnaisesti. Mikä on todennäköisyys, että viimeinen matkustaja istuu oikealla paikallaan?
4 tähteä **** : Arvotaan väliltä [0,1] satunnaisesti äärellinen määrä lukupareja, joista muodostetaan intervalli-joukkoja [a,b]. Mikä on todennäköisyys, että yksi intervalli osuu kaikkiin muihin?
5 tähteä ***** : Ympyrän sisällä on kaksi pistettä, M (mies) ja L (leijona). Leijona jahtaa miestä, ja molemmilla on sama huippunopeus. Onko leijonalla taktiikka, jolla saada mies kiinni?
Vastaukset 9
Vanhimmat
1 tähden tehtävässä tulee siis antaa Y:n minimikoko siten, että Mikä Tahansa sen kokoinen Y täyttää ehdon.
teht1:
Tarkoittaako Y:n koko siis sen alkioiden lukumäärää?
Tarkentaisitko tuota notaatiota {1,...,2n} eli jos n=2, niin onko joukku {1,2,3,4} vai?
Tarkoitin nimenomaan joukkoa {1,2,3,...,2n}, eli kaikkia kokonaislukuja, jotka ovat korkeintaan 2n.
2 tähden tehtävässä: Kunnassa on n miestä, ja n naista. Ei siis n klubia!
Onko joukko X={1,4,6,8...,2(n-1),2n} vai mitä tuo merkintä tarkoittaa?
Ps. Kiva idea tällainen ;). Muttta mitä nimimerkkiä tässä tulisi käyttää... (en ole suomi24 rekisteröitynyt)?
Kiitos!
Tarkoitin joukkoa {1,2,3,...,2n} .
Voit valita nimimerkin ihan vapaasti -- suosittelen rekisteröitymään suomi24:een samalla nimmarilla.
Riippuu siitä, miten suuren anonymiteetin haluaa säilyttää... Jos ei halua käyttää omaa e-mail-osoitettaan, gmail.com-sivulta voi myös aika helposti hankkia kakkososoitteen -- kuten olen itse tehnyt yllä...
... ei ole tullut vielä monta. Vielä pari päivää aikaa ratkoa pulmia!
Jatka ihmeessä tätä aloittamaasi tehtäväsarjaa nkorppi.
Olen saanut siitä ihmeesti ajankulua.
1 toivomus: tehtävät ovat ainakin minulle hieman liian vaikeita.
Taidan olla vain yhden pisteen syrjässä kiinni.
Voisitko seuraavalla kierroksella laskea hieman vaikeustasoa?
Toivoo Hessu
Voin laittaa ainakin pari ensimmäistä tehtävää vähän helpommaksi. Yhteistähän näille kaikille on se, että vastaus on aika helppo, vaikka sitä ei olisikaan yhtä helppo keksiä.
Taidat olla ainoa, joka on palauttanut mitään tähän mennessä. Mutta pistän ainakin yhden lisäjakson, josko joku innostuisi.