Tämä tulee 15 minuuttia etuajassa kiireiden takia, eli pahoittelut, jos joku ei vielä ehtinyt lähettää vastauksiaan.
Osallistuminen oli varsin laihaa, mutta Hessu oli miettinyt kiitettävästi ekaa tehtävää.
Laitan ainakin vielä kerran uudet Pulmat, mutta tässä edellisen jakson ratkaisut:
Ratkaisut:
1 tähteä: X={1,2,3,...,2n}. Kuinka suuri osajoukko Y:n pitää olla, jotta mikä tahansa sen kokoinen osajoukko sisältää:
a) kaksi lukua joista toinen jakaa toisen
b) kaksi keskenään jaotonta lukua
Ratkaisu: a) Hessu osoitti mukavasti, että koko n ei riitä: esimerkkinä {n 1, n 2,..., 2n}. Voimme todistaa, että n 1 riittää seuraavasti: Oletetaan, että |Y| = n 1. Jaetaan pois kahden potenssit kaikista Y:n alkioista. Saamme n 1 paritonta lukua. Mutta parittomia lukuja ei ole X:ssä kuin n erilaista, joten joku pariton osa toistuu. Selvästikin tämä tieto antaa meille sopivan lukuparin.
b) Hessu osoitti jälleen mukavasti, ettei koko n riitä: esimerkkinä {2,4,6,...,2n}. Voimme todistaa, että n 1 riittää seuraavasti: Oletetaan, että |Y| = n 1. Mietitään pareja {1,2}, {3,4}, ..., {2n-1,2n}. Y:n on sisällettävä ainakin yksi näistä pareista. Mutta peräkkäiset luvut ovat keskenään jaottomia (luvut eroavat toisistaan vähintään pienimmän yhteisen tekijänsä verran).
2 tähteä : Tasa-arvoa vaalivassa kunnassa on n naista ja n miestä, ja jokaisen klubin jäseninä yhtä paljon miehiä kuin naisia. Jos valitaan mitkä tahansa kaksi eri klubia, niillä ei ole täsmälleen samoja jäseniä, mutta yhtä monta naista kuin miestä kuuluu molempiin. Kuinka monta klubia kunnassa voi olla?
Ratkaisu: Oletetaan, että jokaisella miehellä on vaimo. Yksi järjestely on sellainen, että vaimo kuuluu täsmälleen samoihin klubeihin kuin miehensä. Miehistä voidaan muodostaa 2^n osajoukkoa, joten tällä järjestelyllä meillä voi olla 2^n klubia, ja tehtävän ehdot selvästikin täyttyvät. Nyt osoitamme, että 2^n on maksimimäärä kaikilla järjestelyillä. Jotta klubeja olisi enemmän kuin 2^n, on oltava kaksi eri klubia, joilla on täsmälleen samat miehet. Olkoon miesten määrä kummassakin k. Ehdoista seuraa, että naisia on oltava k, ja että kaikki naiset kuuluvat molempiin. Mutta kahdella klubilla ei voi olla täsmälleen samoja jäseniä. Siispä 2^n ei ole ylitettävissä.
3 tähteä: Täyteen varattuun lentokoneeseen saapuvat kaikki matkustajat -- mutta ensimmäinen reissumies on unohtanut istumapaikkansa. Hän istuu satunnaiseen paikkaan. Matkustajat astuvat koneeseen vuorotellen, ja istuvat oikealle paikalleen -- paitsi jos oma paikka on viety, jolloin he valitsevat istumapaikkansa satunnaisesti. Mikä on todennäköisyys, että viimeinen matkustaja istuu oikealla paikallaan?
Ratkaisu: Heti kun joku istuu ensimmäisen matkustajan paikalle A, kaikki istuvat oikeille paikoilleen sen jälkeen. (Mieti asiaa!) Vastaavasti, heti kun joku istuu viimeisen matkustajan paikalle B, on selvää että viimeinen matkustaja ei pääse oikealle paikalleen. Eli vaihtoehtoja on kaksi: (A:han istutaan ennen B:tä) tai (B:hen istutaan ennen A:ta). Missään vaiheessa A-paikkaa ei suosita sen enempää kuin B:täkään, joten todennäköisyyksien on oltava 1/2.
4 tähteä: Arvotaan väliltä [0,1] satunnaisesti äärellinen määrä lukupareja, joista muodostetaan intervalli-joukkoja [a,b]. Mikä on todennäköisyys, että yksi intervalli osuu kaikkiin muihin?
Ratkaisu: Taivutamme intervallin [0,1] ympyräksi, ja merkitsemme liitoskohtaa merkillä X. Jos arvottuja intervalleja on vain yksi, ei ole mitään todistettavaa, joten oletetaan että niitä on arvottu ainakin kaksi. Merkitään arvottujen intervallien aloitus- ja lopetuspisteitä samalla symbolilla. Lähdetään myötäpäivään pisteestä X, kunnes tulee vastaan joku kahdesti esiintynyt merkki, vaikkapa a. Nyt lähdemme siitä vastapäivään, kunnes joku toinen merkki on esiintynyt kaksi kertaa, vaikkapa b. Nyt symbolit a,a,b,b ja X ovat myötäpäivään yhdessä seuraavista järjestyksistä: bbXaa, bXbaa tai bXaba. Kaikki siis riippuu keskimmäisen b:n sijainnista. Ensimmäinen vaihtoehto johtaa siihen, että mikään intervalli ei osu kaikkiin muihin. Kaksi muuta vaihtoehtoa johtavat siihen, että bb-intervalli osuu kaikkiin muihin. (Vakuuta itsesi tästä, ottaen huomioon tavat, joilla a ja b valittiin.) Mikään ei suosinut yhtä järjestyksistä sen enempää kuin muitakaan, joten todennäköisyys on 2/3.
5 tähteä: Ympyrän sisällä on kaksi pistettä, M (mies) ja L (leijona). Leijona jahtaa miestä, ja molemmilla on sama huippunopeus. Onko leijonalla taktiikka, jolla saada mies kiinni?
Ratkaisu: Voisi luulla, että Leijona saa Miehen kiinni näin: Leijona menee keskelle, ja säilyttää kaikkina aikoina suuntansa kohti Miestä, samalla juosten miestä kohti. Koska Leijona on lähempänä keskustaa, hänen ei tarvitse milloinkaan käyttää koko nopeuttaan suunnan vaihtoon, joten Leijona lähenee Miestä ja litistää tämän seinää vasten.
Ongelma on 'litistys'-väitteessä. Leijona ei saa Miestä kiinni, jos Mies tekee eräänlaista äärettömästi tihenevää siksakkia laidan läheisyydessä. Tässä todistuksen pääpiirteet: Piirretään Miehestä säde ympyrän keskelle. Nyt Mies kulkee jonkun matkaa säteestä kohtisuoraan sinne puolelle, missä Leijona ei ole. Mies pysähtyy ennen kuin laita tulee vastaan. Selkeästikään Leijona ei voi saada Miestä kiinni tämän aikana. Nyt piirretään uusi säde, ja toistetaan sama! Jos voimme osoittaa, että Miehen liikkumien pätkien yhteisetäisyys on ääretön, olemme valmiita. Riittää, että valitsemme pätkien etäisyyksiksi jonkun tunnetun suppenemattoman sarjan termit, varmistaen samalla, että Mies ei koskaan osu ympyrän laitaan. Tämä on 'tietenkin' mahdollista.
***************************
Uudet Pulmat:
1 tähteä * : Otetaan ruudukko, jolla on mittasuhteet 2^n x 2^n, mutta yksi ruutu on poistettu kokonaan. Haluamme laatoittaa sen tiilillä, jotka muodostuvat kolmen ruudun L-kirjaimen muodosta. Osoita, että laatoitus on mahdollinen kaikille n=1,2,3,...
2 tähteä ** : Meillä on kymmenen säkkiä kolikoita (jokaisessa ainakin 1000 kolikkoa). Yhdeksässä säkissä kolikot ovat massaltaan 1g, mutta yhden säkin kolikot ovat 2g. Meillä on digitaalivaaka, joka antaa massan gramman tarkkuudella. Selvitä mikä säkki on erilainen tasan yhdellä punnituksella.
3 tähteä ***: Osoita, että jos tasoon piirretään mitkä tahansa n pistettä (n>1), niin voimme piirtää suoran joka menee tasan kahden pisteen läpi.
4 tähteä ****: Vankia pidetään ikkunattomassa huoneessa, eikä hän tiedä kellonaikaa. Hänelle kuitenkin kerrotaan, että digitaalikello näyttää aikaa väliltä 12.00 - 23.59 . Hänelle tuodaan pysäytetty, mutta oikeaa aikaa näyttävä viisarikello, jossa minuuttiosoitin on yhtä pitkä kuin tuntiosoitin. Miehen pitää lukea aika oikein, tai hänet hirtetään. Orjuuttaja on nokkela ja on valinnut sellaisen ajan, että vangilla on kaksi yhtä järkevää vastausvaihtoehtoa. Kuinka monta tällaista hetkeä on 12.00 - 23.59 välisenä aikana?
5 tähteä *****: Muodostetaan ruudukko identtisistä tasasivuisista kolmioista. Laattamme ovat muodoltaan kahden vierekkäisen kolmion muodostamia suunnikkaita. Laattoja voi asetella ruudukkoon kolmeen eri asentoon. Osoita, että säännöllisen kuusikulmion (6n^2 kolmiota) onnistuneessa laatoituksessa käytetään yhtä paljon kutakin asentoa.
Lähetä ratkaisut nimimerkin kera osoitteeseen [email protected] klo 15 8.1. mennessä. Niitä saa korjailla/lisäillä siihen saakka.
Osallistuminen oli varsin laihaa, mutta Hessu oli miettinyt kiitettävästi ekaa tehtävää.
Laitan ainakin vielä kerran uudet Pulmat, mutta tässä edellisen jakson ratkaisut:
Ratkaisut:
1 tähteä: X={1,2,3,...,2n}. Kuinka suuri osajoukko Y:n pitää olla, jotta mikä tahansa sen kokoinen osajoukko sisältää:
a) kaksi lukua joista toinen jakaa toisen
b) kaksi keskenään jaotonta lukua
Ratkaisu: a) Hessu osoitti mukavasti, että koko n ei riitä: esimerkkinä {n 1, n 2,..., 2n}. Voimme todistaa, että n 1 riittää seuraavasti: Oletetaan, että |Y| = n 1. Jaetaan pois kahden potenssit kaikista Y:n alkioista. Saamme n 1 paritonta lukua. Mutta parittomia lukuja ei ole X:ssä kuin n erilaista, joten joku pariton osa toistuu. Selvästikin tämä tieto antaa meille sopivan lukuparin.
b) Hessu osoitti jälleen mukavasti, ettei koko n riitä: esimerkkinä {2,4,6,...,2n}. Voimme todistaa, että n 1 riittää seuraavasti: Oletetaan, että |Y| = n 1. Mietitään pareja {1,2}, {3,4}, ..., {2n-1,2n}. Y:n on sisällettävä ainakin yksi näistä pareista. Mutta peräkkäiset luvut ovat keskenään jaottomia (luvut eroavat toisistaan vähintään pienimmän yhteisen tekijänsä verran).
2 tähteä : Tasa-arvoa vaalivassa kunnassa on n naista ja n miestä, ja jokaisen klubin jäseninä yhtä paljon miehiä kuin naisia. Jos valitaan mitkä tahansa kaksi eri klubia, niillä ei ole täsmälleen samoja jäseniä, mutta yhtä monta naista kuin miestä kuuluu molempiin. Kuinka monta klubia kunnassa voi olla?
Ratkaisu: Oletetaan, että jokaisella miehellä on vaimo. Yksi järjestely on sellainen, että vaimo kuuluu täsmälleen samoihin klubeihin kuin miehensä. Miehistä voidaan muodostaa 2^n osajoukkoa, joten tällä järjestelyllä meillä voi olla 2^n klubia, ja tehtävän ehdot selvästikin täyttyvät. Nyt osoitamme, että 2^n on maksimimäärä kaikilla järjestelyillä. Jotta klubeja olisi enemmän kuin 2^n, on oltava kaksi eri klubia, joilla on täsmälleen samat miehet. Olkoon miesten määrä kummassakin k. Ehdoista seuraa, että naisia on oltava k, ja että kaikki naiset kuuluvat molempiin. Mutta kahdella klubilla ei voi olla täsmälleen samoja jäseniä. Siispä 2^n ei ole ylitettävissä.
3 tähteä: Täyteen varattuun lentokoneeseen saapuvat kaikki matkustajat -- mutta ensimmäinen reissumies on unohtanut istumapaikkansa. Hän istuu satunnaiseen paikkaan. Matkustajat astuvat koneeseen vuorotellen, ja istuvat oikealle paikalleen -- paitsi jos oma paikka on viety, jolloin he valitsevat istumapaikkansa satunnaisesti. Mikä on todennäköisyys, että viimeinen matkustaja istuu oikealla paikallaan?
Ratkaisu: Heti kun joku istuu ensimmäisen matkustajan paikalle A, kaikki istuvat oikeille paikoilleen sen jälkeen. (Mieti asiaa!) Vastaavasti, heti kun joku istuu viimeisen matkustajan paikalle B, on selvää että viimeinen matkustaja ei pääse oikealle paikalleen. Eli vaihtoehtoja on kaksi: (A:han istutaan ennen B:tä) tai (B:hen istutaan ennen A:ta). Missään vaiheessa A-paikkaa ei suosita sen enempää kuin B:täkään, joten todennäköisyyksien on oltava 1/2.
4 tähteä: Arvotaan väliltä [0,1] satunnaisesti äärellinen määrä lukupareja, joista muodostetaan intervalli-joukkoja [a,b]. Mikä on todennäköisyys, että yksi intervalli osuu kaikkiin muihin?
Ratkaisu: Taivutamme intervallin [0,1] ympyräksi, ja merkitsemme liitoskohtaa merkillä X. Jos arvottuja intervalleja on vain yksi, ei ole mitään todistettavaa, joten oletetaan että niitä on arvottu ainakin kaksi. Merkitään arvottujen intervallien aloitus- ja lopetuspisteitä samalla symbolilla. Lähdetään myötäpäivään pisteestä X, kunnes tulee vastaan joku kahdesti esiintynyt merkki, vaikkapa a. Nyt lähdemme siitä vastapäivään, kunnes joku toinen merkki on esiintynyt kaksi kertaa, vaikkapa b. Nyt symbolit a,a,b,b ja X ovat myötäpäivään yhdessä seuraavista järjestyksistä: bbXaa, bXbaa tai bXaba. Kaikki siis riippuu keskimmäisen b:n sijainnista. Ensimmäinen vaihtoehto johtaa siihen, että mikään intervalli ei osu kaikkiin muihin. Kaksi muuta vaihtoehtoa johtavat siihen, että bb-intervalli osuu kaikkiin muihin. (Vakuuta itsesi tästä, ottaen huomioon tavat, joilla a ja b valittiin.) Mikään ei suosinut yhtä järjestyksistä sen enempää kuin muitakaan, joten todennäköisyys on 2/3.
5 tähteä: Ympyrän sisällä on kaksi pistettä, M (mies) ja L (leijona). Leijona jahtaa miestä, ja molemmilla on sama huippunopeus. Onko leijonalla taktiikka, jolla saada mies kiinni?
Ratkaisu: Voisi luulla, että Leijona saa Miehen kiinni näin: Leijona menee keskelle, ja säilyttää kaikkina aikoina suuntansa kohti Miestä, samalla juosten miestä kohti. Koska Leijona on lähempänä keskustaa, hänen ei tarvitse milloinkaan käyttää koko nopeuttaan suunnan vaihtoon, joten Leijona lähenee Miestä ja litistää tämän seinää vasten.
Ongelma on 'litistys'-väitteessä. Leijona ei saa Miestä kiinni, jos Mies tekee eräänlaista äärettömästi tihenevää siksakkia laidan läheisyydessä. Tässä todistuksen pääpiirteet: Piirretään Miehestä säde ympyrän keskelle. Nyt Mies kulkee jonkun matkaa säteestä kohtisuoraan sinne puolelle, missä Leijona ei ole. Mies pysähtyy ennen kuin laita tulee vastaan. Selkeästikään Leijona ei voi saada Miestä kiinni tämän aikana. Nyt piirretään uusi säde, ja toistetaan sama! Jos voimme osoittaa, että Miehen liikkumien pätkien yhteisetäisyys on ääretön, olemme valmiita. Riittää, että valitsemme pätkien etäisyyksiksi jonkun tunnetun suppenemattoman sarjan termit, varmistaen samalla, että Mies ei koskaan osu ympyrän laitaan. Tämä on 'tietenkin' mahdollista.
***************************
Uudet Pulmat:
1 tähteä * : Otetaan ruudukko, jolla on mittasuhteet 2^n x 2^n, mutta yksi ruutu on poistettu kokonaan. Haluamme laatoittaa sen tiilillä, jotka muodostuvat kolmen ruudun L-kirjaimen muodosta. Osoita, että laatoitus on mahdollinen kaikille n=1,2,3,...
2 tähteä ** : Meillä on kymmenen säkkiä kolikoita (jokaisessa ainakin 1000 kolikkoa). Yhdeksässä säkissä kolikot ovat massaltaan 1g, mutta yhden säkin kolikot ovat 2g. Meillä on digitaalivaaka, joka antaa massan gramman tarkkuudella. Selvitä mikä säkki on erilainen tasan yhdellä punnituksella.
3 tähteä ***: Osoita, että jos tasoon piirretään mitkä tahansa n pistettä (n>1), niin voimme piirtää suoran joka menee tasan kahden pisteen läpi.
4 tähteä ****: Vankia pidetään ikkunattomassa huoneessa, eikä hän tiedä kellonaikaa. Hänelle kuitenkin kerrotaan, että digitaalikello näyttää aikaa väliltä 12.00 - 23.59 . Hänelle tuodaan pysäytetty, mutta oikeaa aikaa näyttävä viisarikello, jossa minuuttiosoitin on yhtä pitkä kuin tuntiosoitin. Miehen pitää lukea aika oikein, tai hänet hirtetään. Orjuuttaja on nokkela ja on valinnut sellaisen ajan, että vangilla on kaksi yhtä järkevää vastausvaihtoehtoa. Kuinka monta tällaista hetkeä on 12.00 - 23.59 välisenä aikana?
5 tähteä *****: Muodostetaan ruudukko identtisistä tasasivuisista kolmioista. Laattamme ovat muodoltaan kahden vierekkäisen kolmion muodostamia suunnikkaita. Laattoja voi asetella ruudukkoon kolmeen eri asentoon. Osoita, että säännöllisen kuusikulmion (6n^2 kolmiota) onnistuneessa laatoituksessa käytetään yhtä paljon kutakin asentoa.
Lähetä ratkaisut nimimerkin kera osoitteeseen [email protected] klo 15 8.1. mennessä. Niitä saa korjailla/lisäillä siihen saakka.
Vastaukset 6
Vanhimmat
"3 tähteä ***: Osoita, että jos tasoon piirretään mitkä tahansa n pistettä (n>1), niin voimme piirtää suoran joka menee tasan kahden pisteen läpi. "
En ymmärrä. Entäs jos n=3 ja pisteet (0,0), (0,1) ja (0,2)?
Unohdin laittaa mukaan täsmennyksen, että 'n pistettä, eivät kaikki samalla suoralla'.
Kiitos huomautuksesta.
Minä olin jo tarjoamassa vastausta ilmavoimien kaluston käytöstä demonstraatiomielessä. Tiedätte varmaan, että lentokoneissa on siivet, mutta ilmavoimilla ne ovat tasot. Jos hävittäjässä on tasot, niin sitten se on ainakin kaksitasoinen.
Piirrä risti yhden tason ylä- tai alapintaan niin, että voit ampua pyssyllä luodin ristin kohdalta läpi tason osumatta toiseen tasoon, niin tehtävä on kutakuinkin ratkaistu. Laukaise pyssy, niin on reikä kahdessa kohdassa samassa tasossa.
Onko jokaisessa säkissä yhtä monta kolikkoa?
... vaikka, että jokaisessa säkissä on äärettömän monta kolikkoa. ;)
tilanne: Säkki, jossa on äärettämän monta 1 g painoista kolikkoa.
Joko säkki on äärettömän suuri, tai sitten kolikot ovat kooltaan jotain infinitesimaalisia (tai jotain sinne päin). Jos kolikot ovat kovin pieniä, niin ei niitä näe suurennuslasillakaan, ja vien ne Suomen pankkiin laskettaviksi, jolloin selviän punnitsematta niitä. Jos taas säkki tai säkit ovat suuria, niin turvaudun Roope Ankan konstiin hänen kilpaillessaan Kulta-Into Piin (meniköhän oikein) kanssa rahakasojen suuruudesta: Työnnän keihään rahakasan läpi. Vastusvoimasta päättelen killinkien esilaisuuden ja nytkään ei tarvitse kolikoita ruveta puntaroimaan.