Tehtävänä on määrittää raja-arvo (sin(x)-5x^2)/(x-x^2) kun x lähestyy ykköstä ja todistaa tulos täsmällisesti. Voisiko joku viisas auttaa tuon täsmällisen todistamisen kanssa?
Raja-arvotehtävä
matlab
61248
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 6
Vanhimmat
sin(x)-5x^2 -> sin(1)-5
lim(1/(x-x^2),x=1 )=-ääretön
lim(1/(x-x^2),x=1-)=ääretön
=> ei raja-arvoa.
Raja-arvojen peruslaskusäännöt oletin tunnetuksi, sillä funktion sin(x) todistaminen jatkuvaksi kohdassa x=1 vaatii näitä laskusääntöjä.
Pystyykö lauseketta sieventämään? Onko se edes välttämätöntä?
Entä kuinka vastaus kuuluu kun lauseessa sanotaan että todista täsmällisesti vai oliko äskeinen juuri se?
... alla laitoin muodollisen todistuksen.
Intuitio, tässä on se, että lauseke on rajoitetun ja suppenemattoman funktion tulo, joten sen on pakko olla suppenematon.
Sievennys ei ole helppo, mutta voit halutessasi käyttää sin-funktion sarjakehitelmää:
sin(x) = x-x^3/6 x^5/120 - ...
Esim. oletetaan, että x lähestyy ykköstä alhaalta päin.
(sin(x)-5x^2)/(x-x^2) > (x-x^3/6-5x^2)/x = 1-x^2/6-5x
Mutta oikea puoli lähestyy miinus ääretöntä, ja vasen puoli on suurempi, joten sekin lähestyy miinus ääretöntä.
Tein tuossa virheen, kun ajattelin vaihteeksi, että x lähestyy ääretöntä. Mutta voitte itse korjata, jos haluatte... :)
Koska x^2 ja sin ovat jatkuvia funktioita, mille tahansa d>0 on olemassa sellainen e>0, että
Kun |x-1|0, on olemassa sellainen e>0, että
Kun |x-1| |sin(1)-5|-d > 0. Mutta tämä ei ole mahdollista arvolle x=1.
sin(x) sisältyy [-1,1]
Välillä [½,2]: 1.25 = 5/4 1
Siis kaiketi raja-arvoa ei ole , kun se jokatapauksessa on kaksikäsitteinen.
Vissiin pikkuisen eroava tulos tuosta edellisestä?