Mulla voi olla vielä tuo käsite hukassa, mutta meillä on ollut esimerkkeinä bijektioista vain funktioita, jotka ovat R:ltä R:lle (tai osaan siitä), niin voiko bijektio olla vaikka R^2:lta R:lle (esimerkki)? Vai onko bijektioita vain yksiulotteisissa avaruuksissa?
Bijektioista
alkeitaopetteleva
6291
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 6
Vanhimmat
Bijektio R^2:lta R:lle ei käsittääkseni ole ihan alkeita enää. Tällainen bijektio on olemassa ja se saadaan konstruoimalla injektiot R->RxR ja RxR->R. Tämän jälkeen väite seuraa Schröderin-Bernsteinin lauseesta.
Nyt tuli mieleen, miten kyseisen bijektion voi tehdä. Muodostetaan ensiksi bijektio f:]0,1[-R. Tällainen on olemassa, sillä lähdön ja maalin mahtavuus on samat, kontinuumi. Asetetaan funktio F:(0,1)x(0,1) -> R^2 : F(x,y)=(f(x),f(y)). Nyt voidaan todistaa, että jos card(A)=card(C) ja card(B)=card(D), card(AxB)=card(CxD).
... on aika luonnollista, että R ja R^2 olisivat saman kokoisia.
Nähdäksesi, että on olemassa R^2 ---> R bijektio, mieti funktiota, joka toimii seuraavalla tavalla:
f(14.464 , 25.50) = 1245.45604
Eli valitsemme desimaaleja lomittain. Selvästikin tämä on injektio ja 'melkein' bijektio.
Ongelma syntyy siitä, että on olemassa lukuja, joilla on kaksi desimaaliesitystä. Jos yritämme kieltää 99999... päätteet, f ei koskaan saa arvoa 0.1919191919..., eikä siten ole surjektio.
Voit yrittää korjata tuon bijektioksi, tai sitten voit huomata, että on olemassa triviaali injektio R ---> R^2 (lähetä kaikki x-akselille).
Cantor-Bernstein lemma: Jos on olemassa injektiot molempiin suuntiin, on olemassa myös bijektio.
Tavallaan CB-lemma todistaa aksiomaattisesti intuitiivisen faktan, että jos |A|
Joukkojen mahtavuus on tuo kriteeri:
Joukoilla A ja B on sama mahtavuus joss on olemassa bijektio A->B.
R^2 ja R eroavat toisistaan muistaakseni järjestettävyyden suhteen.
Kuitenkin niin, että mahdollisesti rajallisella informaatiolla voidaan x kuuluu R muuttaa y kuuluu R^2.
Voisi ehkä lähteä luvun binääriesityksestä ...k2k1,d1d2..., katkaista sen desimaalipilkun kohdalta ja shiftata informaatiobittejä ulos kokonaisosasta ja desimaaliosasta ja niistä sekä lopuista konstruoida R->]-1,1[ X ]-1,1[ ja sitten tuosta kuutiosta ->RxR (voi olla, että menee pieleen!).
Helpointa kuitenkin lienee etsiä tuo bijektio kirjallisuudesta!
Vaikkakin ajattelu harjaannuttaa erästä tunnettua lihasta, ei pyörää silti aina kannata keksiä uudelleen (etsi kirjallisuudesta Arkhimedes).
Rakenteelliset ehdot ovat sitten toinen juttu. Topologia, algebra jne.
Kiitos vastauksista, pitää tutustua niihin vielä paremmin, olivat minulle vielä aika uusia (en ole koskaan kuullutkaan C-B lemmasta).
... meillä on vaikkapa f(2345,2), voimme kirjoittaa 2 muodossa '0002', jotta lomittaminen olisi yksiselitteistä. :)