Tarvisin apua Taylorin sarjan muodostamisessa funktiosta f(z)=z/(3-z) pisteen z=1 suhteen. Toihan muistuttaa vähän geometrisen sarjan summaa, mutta onko siitä apua tässä?
Taylorin sarja
Kolvikirkko
7377
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 7
Vanhimmat
Koska tahdot pisteen z=1 suhteen niin tee muunnos, joka on maclaurin sarja (pisteen 0 suhteen) t=z-1 eli z=t 1
eli f(t)=(t 1)/(3-t-1)=(t 1)/(2-t)=
(t 1)/(2(1-t/2), josta saat (t 1)*(1 (t/2) (t/2)^2 ...)=1 (1 1/2)t (1/2 1/4)t^2 (1/4 1/8)t^3 ...
1 3/2t 3/4t^2 3/8t^3 ...
Siis yleinen termi 3/2^k*t^k (k=1,2,...)
Palauta t=z-1 saat haluamasi f(z)=1 3*Summa(k=1..ääretön)(1/2)^k(z-1)^k joka suppenee, kun
-1
tehdä pienen huolimattomuusvirheen tossa:
"(t 1)/(2(1-t/2), josta saat"
Mihin häviää toi kolmannen sulun jälkeen oleva kakkonen? Tai missä otat sen huomioon?
Muuten kiitos vastauksesta!
Onko tossa ratkaisussa virhe? Ja eikös k:n pitäisi lähteä 0:sta eikä 1:stä?
vastaukseksi tällaisen Taylorin sarjan: 1/2 Summa(n=1...ääretön)3/2^(n 1)*(z-1)^n. Saatteko saman?
Sopivasti valittua ohjelmistoa käyttäen saadaan vastaukseksi
> series(z/(3-z), z = 1);
1/2 3/4*(z-1) 3/8*(z-1)^2 3/16*(z-1)^3 3/32*(z-1)^4 3/64*(z-1)^5 ...
Eli vastauksesi lienee oikea.
Voisit sen kyllä laskea käsinkin vähemmällä renttuilulla :-)!
Kirjota proffalle tentissä, että "Oon joskus kuullu ja Maplesta löytyy muistaakseni hyviä funktioita tälläisten laskemiseksi"
Mutta joo... tossahan on tietenkin tärkeintä muokata funktiota siten, että sinne tulee termi: 1/(1 - (z-1)) . Noin siis lähtökohtaisesti. Osamurrot auttavat tietenkin aina. :)