Löytyisiköhän palstan matemaatikoilta apua seuraavaan:
Olisi näytettävä, että mielivaltainen isometria U voidaan esittää muodossa U = exp(iH), missä H on hermiittinen. Eksponenttifuntio on määritelty perinteisesti sarjakehitelmän avulla.
Jotenkin tässä tulisi käyttää hyväksi operaattoreiden ominaisarvojen ja ominaisvektoreiden ominaisuuksia.
Muistutuksen vuoksi:
U on isometria, jos U*U = I. H on hermiittinen, jos H* = H. Tuossa "*" tarkoittaa daggeria, eli adjungaattia.
Olisi näytettävä, että mielivaltainen isometria U voidaan esittää muodossa U = exp(iH), missä H on hermiittinen. Eksponenttifuntio on määritelty perinteisesti sarjakehitelmän avulla.
Jotenkin tässä tulisi käyttää hyväksi operaattoreiden ominaisarvojen ja ominaisvektoreiden ominaisuuksia.
Muistutuksen vuoksi:
U on isometria, jos U*U = I. H on hermiittinen, jos H* = H. Tuossa "*" tarkoittaa daggeria, eli adjungaattia.
Vastaukset 4
Vanhimmat
Isometria liittyy käsittääkseni vain metrisiin avaruuksiin. Missä metrisessä avaruudessa liikutaan? C^n? Onko H ja U kompleksisia nxn-matriiseja?
Ajatukseni on, että isometrian välittävän matriisin ominaisarvot on oltava ilmeisesti -1 tai 1 ja tunnetusti |e^{ix}|=1. Tätä kautta ilmeisesti voidaan todistaa, että isometria on muotoa e^{iP} jollain matriisilla P.
Jeps.. metriikka tarvitaan.
En ole varma kuinka yleisissä avaruuksissa tuo mainittu lause on voimassa. Tässä voitanee olettaa operaattoreiden olevan nxn-matriiseja C^n:ssä. Tällöin tosin U on myös unitaarinen (koska on isometrinen äärellisulotteisessa avaruudessa).
Isometrian ominaisarvoille tosiaan pätee |x|=1, samoin tietysti |exp(iz)|=1 kaikilla z. Mutta seuraako tuosta kovinkaan suoraviivaisesti, että kaikki isometriat (tässä: unitaariset matriisit) voidaan esittää muodossa exp(iP).
Kaikki hermiittiset matriisit diagonalisoituvat jollakin unitaarisella similaarimuunnoksella. Eli H = UDU^-1, missä D on diagonaalimatriisi ja diagonaalialkiot ovat H:n ominaisarvot. Niin ja U:ssa ovat H:n ominaisvektorit. Samoin kaikki unitaariset matriisit voidaan similaarimuuntaa diagonaalimuotoon jollain unitaarisella matriisilla.
On myös helppo näyttää, että exp(iH) on isometrinen (unitaarinen).
Taisin ratkaista ko. probleeman. Antamastasi vinkistä oli hyötyä.
Olkoon U mielivaltainen unitaarinen matriisi. Se voidaan diagonalisoida muotoon
U = VDV^-1,
missä D = diag(uk). uk:t ovat U:n ominaisarvot. Koska |uk|=1 => uk = exp(i wk), missä wk kuuluu reaalilukuihin. Nyt siis D on muotoa diag(exp(i wk)). Otetaan e^ ulos unitaarisen matriisin V ohi, jolloin
U = exp(VAV^-1),
missä A = diag(i wk). Otetaan i vielä eteen, jolloin
U = exp(i VWV^-1).
Nyt on selvää, että VWV^-1 on hermiittinen, ja väite on siis todistettu.
Sisätuloavaruuksissa riittänee, että sisätulo säilyy.