Kaikissa matemaattisissa esityksissä selitetään aina mekaanisesti miten determinantti lasketaan. Mitä determinantti itse asiaassa edes tarkoittaa? Mitä sillä voi laskea alkuperäisestä matriiseista? Onko se jokin kerroin?
Determinantin selitys
Häppänä
15
5003
Vastaukset
- oppimäärä
Voidaan todistaa, että jos n on positiivinen kokonaisluku ja M_n(K) on kaikkien kunnan K n kertaa n matriisien joukko, niin on olemassa täsmälleen yksi funktio f: M_n(K) -> K, joka toteuttaa ehdot:
1) f(I_n) = 1, missä I_n = diag(1,1, ... , 1)
2) f on multilineaarinen funktio
3) f on alternoiva
Se, että f on multilineaarinen funktio tarkoittaa vain sitä, että jos M_n(K):n jonkin matriisin A pystyrivit ovat A_1, A_2, ... , A_n, niin f(A) voidaan ajatella n:n muuttujan funktiona f(A_1, A_2, ... A_n) ja lisäksi f toteuttaa lineaarisuusehdon
f(A_1, ... , k A_i B_i, ... , A_n) =
k f(A_1, ... , A_i, ... m A_n) f(A_1, ... , A_i, ... ,A_n)
kaikilla 0 < i < n 1 ja k kuuluu K ja B_i on K-kertoiminen n-pituinen pystyvektori.
Se, että f on alternoiva tarkoittaa sitä, että mikäli pystyrivit A_i, A_2, ... A_n ovat lineaarisesti riippuvaiset, niin f(A_1, A_2, ... , A_n) = 0 on K:n nolla-alkio.
Tämä yksikäsitteinen funktio on sitten determinantti.
Se mitä se kertoo sitten matriisista onkin laaja kysymys. Ensinnäkin se kertoo onko matriisilla käänteismatriisia. Jos matriisia ajatellaan vektorin lineaarisena kuvauksena, niin tällöin determinanttin voidaan tavallaan ajatella kertovan kuinka paljon matriisi muuttaa vektorin pituutta. Jakamalla matriisi determinantillaan saadaa tietenkin ortogonaalinen matriisi, joka on vain vain avaruuden tietty rotaatio.- hmm..
"toteuttaa lineaarisuusehdon f(A_1, ... , k A_i B_i, ... , A_n) = k f(A_1, ... , A_i, ... m A_n) f(A_1, ... , A_i, ... ,A_n)"
Miten minusta tuntuu, että tämä olisi loogisempi muodossa f(A_1, ... , k A_i B_i, ... , A_n) = k*f(A_1, ..., A_{i-1}, A_i, A_{i 1},...,A_n) f(A_1, ..., A_{i-1}, B_{i}, A_{i 1}, ..., A_n)
Ymmärränkö jotain väärin vai onko tuossa virhe?
- niin.....
Determinantti on sen vektorien muodostaman n-suuntaissärmiön ns. merkkinen tilavuusfunktio.
Esimerkiksi 2-vektorit a,b laitetaan kaavioon päällekkäin ja otetaan determinantti, saadaan a,b-suunnikaan pinta-ala. Vastaavasti n-avaruudessa.
Merkkisyyttä ( tai -)kutsutaan suunnistukseksi.- Juuzzzo
No huh huh mitä te ootte syöny?
- nkorppi
... determinantti on eräänlainen tilavuus. (Matriisin kolumnit rajaavat tuon tilavuuden.)
Jos matriisi edustaa yhtälöryhmää, determinantin arvo on ratkaiseva yhtälöryhmän ratkaisujen luonteen ja määrän kannalta. Determinantin selvittäminen on tärkeää näitä ratkaistessa. - Te-Lu dude
Geometrisesti determinantilla tarkoitetaan sen sisältäminen vektoreiden virittämää n-ulotteista volyymiä. Eli yksi vektori (1x1-matriisi) virittää pituuden, kaksi vektoria (2x2-matriisi) virittää pinta-alan ja kolme (3x3-matriisi) tilavuuden nje.. Ja volyymin kautta näkee heti, että jos osa vektoreista on saman suuntaisia, niin volyymi on nolla, esim. kaksi samansuuntaista suoraa ei muodosta pinta-alaa.
Algebran selitys sitten onkin melko abstrakti. Monet lukevat asian oppikirjoista, mutteivat siittä huolimatta tajua mikä se determinantti loppupeleissä on. Selitän sen tässä esimerkin varjolla, niin että jokainen oppii.
3x3-matriisi A (determinantissahan on aina neliämatriisi)
| a11 a12 a13 |
| a21 a22 a23 |
| a31 a32 a33 |
Ennen kuin aletaa määrittelemään algebraalista determinanttia, niin olisi hyvä olla perillä permutaatioista.
Esimerkiksi joukolla (1 2 3) on 6 ERILAISTA permutaatiota, eli suomeksi sanottuna "tapaa järjestyä". Nyt esitetään yksi permutaatio: (1 2 3) --> (3 2 1), eli 1 ja 3 vaihtavat paikkaa ja siirto määriä oli vain yksi.
Jos (1 2 3 4) --> (4 3 2 1), niin siirtoja tarvitaan 2. Kaikille joukoille siirtomäärä alkutilanteesta haluttuun järjestykseen on aina parillinen tai pariton. Jos on tumpelo ja käyttää permutaatioon (1 2 3 4) --> (4 3 2 1) enemmän kuin 2 siirtoa, niin ei hätää: siirtomäärä on kuitenkin parillinen vaikka kuinka kauvan pyörittelisi (tärkeä yksikäsitteisyys). Nyt sovitaan, että parillinen siirtomäärä saa arvon " 1" ja pariton siirtomäärä arvon "-1", niin voidaan lopultakin käydä asiaan!
(1 2 3) -> (1 2 3) 1
(1 2 3) -> (1 3 2) -1
(1 2 3) -> (2 1 3) -1
(1 2 3) -> (2 3 1) 1
(1 2 3) -> (3 1 2) 1
(1 2 3) -> (3 2 1) -1
Siinä on joukon (1 2 3) kaikki permutaatiot ja jäljessä oleva luku kertoo vaaditaanko siirtoihin parillinen vaiko pariton määrä siirtoja.
Nyt sitten meidän matriisille muodostetaan determinantti. Kirjoitetaan kertolaskuja alkioille "a" siten että ensimmäiset luvut ovat 1,2,3
eli (a1x*a2y*a3z) ja seuraavat luvut ovat uudelleen järjestelyitä luvuista 1,2,3. Nyt siis mietit millä kaikilla tavoilla lukuja 1,2,3 voidaan uudelleen järjestää x,y ja z paikoille. Mutta hei, juuri ylhäällä ne on laskettuna ja niitä on tietenkin 6 kappaletta.
a11*a22*a33
a11*a23*a32
a12*a21*a33
a12*a23*a31
a13*a21*a32
a13*a22*a31
Siinä on täsmälleen samat permutaatiot kuin aikaisemmassa esimerkissä.
Esim. a11*a22*a33 --> a11*a23*a32, 1 siirto, eli pariton ja "-1". Nyt vain merkitään parillisuus tai parittomuus noihin kertolaskuihin laittamalla joko " 1" tai "-1" etumerkeiksi. Siis a11*a23*a32 --> -a11*a23*a32. Ja näin tehdään kaikille ja kertolaskujen summasta muodostuu algebraalinen determinantti!
detA = a11*a22*a33 -a11*a23*a32 -a12*a21*a33
a12*a23*a31 a13*a21*a32 -a13*a22*a31
Nyt jo varmasti ymmärrät mistä determinantissa on kyse. Se miten determinantteja käytetään tai miten niiden arvoja voidaan helposti laskea (siis ei tällä määritelmän tavalla) on toinen kysymys, mutta arvon laskemiseksi on kehitetty elämää helpottavia tapoja.
3x3-matriisin determinantin laskemiseksi tarvitsee laskea siis 3! eli 1x2x3=6 termiä yhteen. 4x4-matriisin laskemiseksi taas 4!=24 eri termiä(siis yksi termi esim. a11*a12*a13*a14 --> a14*a12*a13*a11 -1), ja yleisen nxn-matriisin laskemiseksi n! termiä. Lisäksi mitään kaavaa determinantin laskemiseksi helposti ei ole olemassa, eli joka tapauksessa suuren matriisin determinantin laskemiseen käsipelillä menee aikaa.
Tässä siis lyhyesti, mutta ainakin esitys pitäisi olla sellainen että vasta matriiseihin tutustunut ihminen tajuaa varmasti mistä on kyse. Ja nyt kun on ymmärrys siittä, mitä ihmettä oikein determinantilla tarkoitetaan, niin voi lähteä opiskelemaan kaikkia niitä 'vaikeatajuisia' määritelmiä ja ominaisuuksia.- ekan vuoden opiskelija
Kiitos selvityksestäsi! Mua on aina kiinnostanu tietää, että mitä se determinantti ihan oikeesti on. Insinöörimatikoissa asiasta puhutaan, mutta ei todellakaan niin että kaikki tajuais homman. Mut tää avas tosi paljon ja autto ymmärtään "niitä vaikeempiakin" juttuja determinanteista. :)
- Tulevaisuuden lupaus
Tuo hypertilavuus aspekti kiinnostaa, varsinkin kun se tekee useamman muuttujan integraalilaskennan muuttujan vaihdon jakobiaaniin tolkkua.
Minua kiinnostaisi, että miten näytetään, että n-vektorin virittämä hypersärmiön "tilavuus" saadaan noiden vektorien muodostamasta matriisin determinantista ( tai - "kätisyydestä" riippuen)
Erityisesti alideterminanttien geometrinen tulkinta kiinnostaisi (jos sellainen on)
Induktio-todistuksella lienee menevän, mutta onko jokin "muutaman" rivin tapa, oletetaan matriisialgebra käyttöön. - ljasd.f
En ole kuullut determinanttia selitettävän tuolta kantilta, mutta täytyy tunnustaa etten pidä tuota determinantin ymmärtämisen kannalta hyvänä selityksenä. Laskemistoimenpiteenä se antaa kieltämättä oivat muistisäännöt, mutta eikö sen ymmärtäminen ole hieman jotain muuta kuin arvon laskeminen?
- Jakobiaani
ljasd.f kirjoitti:
En ole kuullut determinanttia selitettävän tuolta kantilta, mutta täytyy tunnustaa etten pidä tuota determinantin ymmärtämisen kannalta hyvänä selityksenä. Laskemistoimenpiteenä se antaa kieltämättä oivat muistisäännöt, mutta eikö sen ymmärtäminen ole hieman jotain muuta kuin arvon laskeminen?
Minä taas olen ensiksi oppinut käsitteen permutaatioiden kautta. Tilavuustulkinta oli ainakin minulle sitten helppo ymmärtää. Kukin tavallaan ja tyylillään, mutta ei permutaatiotapa ole suinkaan pelkkä laskurutiini, kun vähän tarkemmin mietit.
- kalliilla
Jakobiaani kirjoitti:
Minä taas olen ensiksi oppinut käsitteen permutaatioiden kautta. Tilavuustulkinta oli ainakin minulle sitten helppo ymmärtää. Kukin tavallaan ja tyylillään, mutta ei permutaatiotapa ole suinkaan pelkkä laskurutiini, kun vähän tarkemmin mietit.
Determinantin laskentaan koodattu rekursiivinen algol68 aliohjelma, koodattuna reikäkorteille.
nimim tein sen jo. - l.asf
Jakobiaani kirjoitti:
Minä taas olen ensiksi oppinut käsitteen permutaatioiden kautta. Tilavuustulkinta oli ainakin minulle sitten helppo ymmärtää. Kukin tavallaan ja tyylillään, mutta ei permutaatiotapa ole suinkaan pelkkä laskurutiini, kun vähän tarkemmin mietit.
Voi tietysti olla etten vain ymmärrä mitä tuossa haetaan takaa. Pitää perehtyä lisää :) Tapa lähestyä asiaa on tosiaankin minulle uusi.
- Te-Lu dude
l.asf kirjoitti:
Voi tietysti olla etten vain ymmärrä mitä tuossa haetaan takaa. Pitää perehtyä lisää :) Tapa lähestyä asiaa on tosiaankin minulle uusi.
No käsittääkseni toi mun tuherrus on vaan määritelmä determinantille. Se mitä kaikkee iloo determinantista on yhtälöitten ratkaisemisessa, matriisien ominaisuuksissa, derivaattamatriiseissa, grafiikassa nje. on ihan toinen juttu. Sovelletaanhan integraaliakin miltei rajattomasti, vaikka sen käyttö määritelmän pohjalta voi joillekin tuntua 'oudolta'.
Tossa:
"a11*a12*a13*a14 --> a14*a12*a13*a11 -1" on selvä typo! Oikeammin a11*a22*a33*44 --> a14*a22*a33*a41 -1
Ja sitten: en oo mikään matematiikan historian tuntia, mutta lienee varmaa, että determinantin käyttökelpoisuus on havaittu jälkeenpän! Permutaatioiden summan ollessa nolla on joku havainnut rivi- tai sarakevektoreiden olevan lineaarisesti riippuvia niin edes päin... - tarkennusta
Te-Lu dude kirjoitti:
No käsittääkseni toi mun tuherrus on vaan määritelmä determinantille. Se mitä kaikkee iloo determinantista on yhtälöitten ratkaisemisessa, matriisien ominaisuuksissa, derivaattamatriiseissa, grafiikassa nje. on ihan toinen juttu. Sovelletaanhan integraaliakin miltei rajattomasti, vaikka sen käyttö määritelmän pohjalta voi joillekin tuntua 'oudolta'.
Tossa:
"a11*a12*a13*a14 --> a14*a12*a13*a11 -1" on selvä typo! Oikeammin a11*a22*a33*44 --> a14*a22*a33*a41 -1
Ja sitten: en oo mikään matematiikan historian tuntia, mutta lienee varmaa, että determinantin käyttökelpoisuus on havaittu jälkeenpän! Permutaatioiden summan ollessa nolla on joku havainnut rivi- tai sarakevektoreiden olevan lineaarisesti riippuvia niin edes päin...> Ja sitten: en oo mikään matematiikan historian tuntia, mutta lienee varmaa, että determinantin käyttökelpoisuus on havaittu jälkeenpän!
Päinvastoin, muistaakseni jo kiinalaiset matematiikot tiesivät ennen ajanlaskun alkua, että lineaarinen yhtälöryhmä on yksikäsitteisesti ratkeava jos ja vain jos yhtälöryhmän determinantti on nollasta poikkeava. Täten determinantti tavallaan on jopa matriisin edeltäjä. Mutta ainakin euroopassa determinantin merkitys lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisuihin liittyen on tiedetty jo pitkään eli se on lähtenyt täysin käytännön työkaluna ja sen teoreettiset ominaisuudet on löydetty myöhemmin. - nkorppi
Te-Lu dude kirjoitti:
No käsittääkseni toi mun tuherrus on vaan määritelmä determinantille. Se mitä kaikkee iloo determinantista on yhtälöitten ratkaisemisessa, matriisien ominaisuuksissa, derivaattamatriiseissa, grafiikassa nje. on ihan toinen juttu. Sovelletaanhan integraaliakin miltei rajattomasti, vaikka sen käyttö määritelmän pohjalta voi joillekin tuntua 'oudolta'.
Tossa:
"a11*a12*a13*a14 --> a14*a12*a13*a11 -1" on selvä typo! Oikeammin a11*a22*a33*44 --> a14*a22*a33*a41 -1
Ja sitten: en oo mikään matematiikan historian tuntia, mutta lienee varmaa, että determinantin käyttökelpoisuus on havaittu jälkeenpän! Permutaatioiden summan ollessa nolla on joku havainnut rivi- tai sarakevektoreiden olevan lineaarisesti riippuvia niin edes päin...... jos integraali määritetään mittateorian keinoin, sen voi nähdä ihan luontevasti pinta-alana jo alkumetreillä, ja sen käyttökin on silloin täysin luontevaa...
Usein sopiva määritelmä on parempi vaihtoehto kuin se, että yrittää istuttaa yhtä määritelmää kaikkialle. Toki tällöin pitäisi mieluusti osata todistaa, että määritelmät ovat yhtäpitävät -- mutta sen voi usein jättää myöhemmin tehtäväksi.
Sama pätee determinanttiin.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Fuengirola.fi: Danny avautuu yllättäen ex-rakas Erika Vikmanista: "Sanoisin, että hän on..."
Danny matkasi Aurinkorannikolle Helmi Loukasmäen kanssa. Musiikkineuvoksella on silmää naiskauneudelle ja hänen ex-raka1053143GALLUP: Kuka voittaa The Voice of Finland -kisan: Oliver, Janina, Julia vai Mohammad?
GALLUP: Kuka voittaa The Voice of Finland -kisan: Oliver, Janina, Julia vai Mohammad? Tänään jännittävä finaalilähetys431167- 831142
Tämä on kyllä heittämällä erikoisin ihmissuhde mitä on koskaan ollut
Hulluinta on se että ei edes ole varsinaista suhdetta minkäänlaista, mutta tuntuu kuin olisit elämässäni mukana koko aja521065Helikopteri pörrää ja POLIISIT on eristettynä pururadan vieressä!
Suojatehtävä pitää kiireisenä. Kulut ovat kovat!321007- 67868
- 53857
Tunnustan
Vaikka peitän sen erittäin hyvin niin tunnustan että pidän sinusta erittäin paljon, mieheltä naiselle39852- 44832
Autolla puuhun
Halapahallin kohilla auto puuhun, lujaa on tultu ja ei oo pysyny hallinnassa. Taisipa olla lundin pojan auto, eipä tainn24811