Kuinka voidaan selvittää jousen varassa värähtelevän punnuksen nopeus tasapainokohtaansa ohittaessaan, kun tiedetään punnuksen massa, jousen jousivakio sekä värähtelyn jaksonaika
Värähtelijän nopeus tasapainokohdassa
...
223884
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 22
Vanhimmat
Pitää vielä tietää amplitudi. Sitten menee jo helmpommaksi, eikä tarvitse edes tietää noita kaikkia.
Tai voihan sen kirjoittaa amplitudin funktiona, eli sen amplitudin voi pitää parametrina.
Millä tavalla asiaa on tarkoitus käsitellä? Onko tarkoitus luoda differentiaaliyhtälö ja ratkaista se, jolloin paikka ja nopeus saadaan sitten määrättyä, vai riittääkä vaikkapa pelkkä jousen tekemän työn integrointi ääripisteestä tasapainokohtaan?
..jäi epähuomiossa mainitsematta.
Kysymyksessä on vanha fysiikan peruskurssin tenttitehtävä, ja kysymys kuuluu kokonaisuudessaan näin:
Kun kilon kalibrointipunnus laitetaan värähtelemään harmonisesti kattoon kiinnitetyn vieterijousen varassa, se värähtelee 20 täyttä jaksoa ajassa 28.6 s.
Massa päästetään värähtelemään alkuasennosta,jossa se on poikkeutettu 5cm tasapainotilan alapuolelle. Laske massan nopeus sen ohittaessa tasapainoasemansa.
Oletan, että teille on annettu jossain kirjassa tietona, että tuollaisen värähtelijän paikka noudattaa poikkeamaltaan sinikäyrää ajan funktiona.
Eli paikka on Asin(wt), jos ajan nollakohdaksi valitsee paikan tasapainoasemassa ja paikan nollakohdaksi kohdan tasapainoasemassa. (sin(0)=0)
w on tässä kulmanopeus, jonka saa kysymyksen tiedoilla ratkaistua.
nopeushan on määritelty paikan aikaderivaataksi, eli v(t) = d(Asin(wt)/dt, joka on helppo laskea.
Tasapainoasemassa nopeus siis näillä merkinnoillä on v(0).
asia selvä
siis v(t)=wAcos(wt)
tää tais tyssätä tähän :(
Miten tosta saa ronkittua sen kysytyn nopeuden esille?
lainaus:
"siis v(t)=wAcos(wt)"
Kyllä. A siis on se amplitudi, eli maksimipoikkeama. w on kulmanopeus, jonka voi tehtävän tiedoilla ratkoa.
Eli sinulla on nyt tiedossa nopeus, joka vaihtelee cosinikäyrän mukaan. Nyt vain pitää miettiä, mitä aika on tasapainokohdassa. (sen siis näet siitä paikan lausekkeesta, kun olet alunperin valinnut ajan ja paikan nollakohdat) Sijoittamalla jonkin sopivan ajan (niitähän on useita, kun liike on jaksollista), jolloin massa on tasapainokohdassa, tuohon nopeuden lausekkeeseen, niin saat selville nopeuden samassa kohdassa.
Värähtelyhän lähtee liikkeelle 5cm tasapainokohdan alapuolelta, jolloin jousta venytetään, eli tällöin paikan nollakohta on -5cm(kait) ja ajan nollakohta on 0(kait). Mutta mikä on aika kun värähtelijä ensimmäisen kerran ohittaa tasapainokohdan?
Sori kun jankkaan, mutta mulle pitää vääntää rautalangasta
Kun kirjoitat paikan lausekkeen sinin tai cosinin avulla, niin silloin valitset paikan ja ajan nollakohdan.
Eli paikan lausekkeesta Asin(plaa) näet, missä kappale on kullakin ajan hetkellä. Paikan nollakohta on luontevinta valita tasapainokohtaan, jolloin tuo sinikäyrä liikkuu -A:n ja A:n välillä.
Jos välttämättä haluat valita ajan nollakohdaksi lähetyshetken, niin x(t) = Asin(wt-Pi/2), jolloin näet, että ajan nollakohdassa paikka on -A.
Tästä voit nyt päätellä, että paikka on nolla (eli tasapainokohta), kun wt = Pi/2
Itse olin valinnut ajan nollahetkeksi hetken jolloin kappale on tasapainoasemassa, eli x(t) = Asin(wt) (lähetyshetki siis on tehty negatiivisella ajanhetkellä) Silloin kappaleen paikka on tasapainopisteessä ajanhetkellä 0.
Molemmin on oikein, mutta nuo valinnat on syytä pitää mielessä myös nopeuden lauseketta käyttäessä.
Eli valitset kummin tahansa, niin paikan lausekkeesta päättelet ajan hetken, jolloin kappale on tasapainoasemassa ja sen ajan hetken voit sijoittaa sitten nopeuden lausekkeeseen.
Jos systeemi on häviötön eikä värähtelyyn vaikuta mikään heräte, eli jos kyseessä on ominaisvärähtely, niin systeemin liike-energia muuttuu jaksollisesti jousen potentiaalienergiaksi ja takaaisin. Liikeenergian maksimi on 1/2*m*V^2 (V = maksiminopeus) ja potentiaalienergian 1/2*k*A^2 (A = värähtelyn amplitudi). Niistä saadaan ratkaistua maksiminopeus
1/2*m*V^2 = 1/2*k*A^2
-> V = A*sqrt(k/m) = A*ω
Eli samalla saatiin ratkaistua värähtelyn ominaiskulmataajuus ω = sqrt(k/m)
Jos tehtävä oli tosiaan tämä:
""Kun kilon kalibrointipunnus laitetaan värähtelemään harmonisesti kattoon kiinnitetyn vieterijousen varassa, se värähtelee 20 täyttä jaksoa ajassa 28.6 s.
Massa päästetään värähtelemään alkuasennosta,jossa se on poikkeutettu 5cm tasapainotilan alapuolelle. Laske massan nopeus sen ohittaessa tasapainoasemansa.""
Niin ominaiskulmanopeuden saa selville
ω = 2*Pi*20/28.6s = 4.39 /s
Ja amplitudin suoraan poikkeumasta tasapainotilasta
A = 5 cm
Suurin nopeus on helppo laskea
V = A*ω = 0.22 m/s
Tosiaan, yksi jako- ja yksi kertolasku.
lainaus:
"Suurin nopeus on helppo laskea
V = A*ω = 0.22 m/s "
Luulen, että tuo ei riitä ilman perusteluja. Vai onko tuollaiset tulokset annettu ja niitä saa käyttää suoraan?
Jos ei, niin perusteluna voi käyttää vaikka sen paikan funktion derivaattaa.
Perustelut olivat siinä edellisessä viestissäni. Kokonaisenergia on vakio. Punnoksen liikettä tai nopeutta ei tarvitse ratkaista ajan funktiona.
Ainoa seikka jota en maininnut oli se että painovoimaa (ja sen potentiaalia) ei tarvinnut huomioida. Sen kun voi helpommin muita teitä (kuin energiaperiaate) osoittaa, että värähtely tasapainoaseman ympärillä vastaa täysin värähtelyä ilman painovoimaa.
Joo, niinhän se menee. Alunperin en tuota tapaa käyttänyt, koska halusin välttää potentiaalienergian lausekkeen johtamisen. (vaikka lukiotiedoilla sekin periaatteessa on laskettavissa) Mutta tuo potentiaalienergian lausekehan on tosiaan valmiiksi annettuna vaikkapa taulukkokirjassa.
Kummallakin tavalla menee, ja tulee sama vastaus.
Aaltofunktio:
y(x, t) = A*cos(kx-ωt)
Eli aaltofunktion derivaatta ajan suhteen kertoo massan nopeuden ja massan nopeuden derivaatta kertoo massan kiihtyvyyden.
v(x, t) = Dy(x, t)/Dt = ω*A*sin(kx - ωt)
Nyt kun tiedät tuon kaavan, niin varmaan osaat itseselvittää mikä on massan nopeus tasapainokohdassa? Tietenkin tämä on myös massan maksiminopeus.
..olemaan jo pässinlihaa kiitos kaikkien vastanneiden.
Tuo sinun esittämä aaltofunktio tosin poikkeaa hieman siitä mikä esiintyy omassa opuksessa..sulkujen sisällä on (wt fii)
Kyseessä ei ole jatkuva systeemi, kuten aaltoliike langassa, vaan ihan yksittäinen jousi ja punnus. Aaltoyhtälöllä ei ole mitään tekemistä asian kanssa ja on suorastaan väärin yrittää tuputtaa sitä tässä yhteydessä.
Eli ei olla ratkaisemassa y(x,t) vaan x(t).
Dresden esitti aaltofunktion, joka ei liity kysymääsi asiaan (ellei sitten hakemalla hae yhteyttä).
Opuksessasi oleva A*sin(wt fii) ei ole aaltofunktio vaan harmonisen värähtelijän liikeyhtälön ratkaisu. Ja punnus jousen päässä on harmoninen värähtelijä.
Ahaa, niinpäs onkin. Jep ei tässä aaltoyhtälöllä mitään tee jos ei sitten ala pyörittämään tuota hommaa, jolloin sen kyllä varmaan saisi aaltoyhtälölläkin.
..täytyy todeta että palstalta löytyy paljon tietämystä.
Tässähän aivan nöyrtyy viisauden edessä
harmooninen värähtelijä?