Tässä olisi kaksi analyysi 2 kurssin tehtävää joihin haluaisin saada jotain selvyyttä:
1)Johda integroimalla tilavuuden lauseke suoralle kartiolle, jonka korkeus on h ja jonka pohjana on ellipsi, akselit 2a ja 2b
2)Mikä on sen kappaleen pinta-ala, joka syntyy, kun lemniskaatta r^2=a^2*cosP(a=vakio, P=kulma 'fii') pyörähtää y-akselin ympäri
Arvostaisin kovasti jos pystyisitte selittämään nämä niin, että tälläinen keltanokka matemaatikkokin ymmärtäisi:)
1)Johda integroimalla tilavuuden lauseke suoralle kartiolle, jonka korkeus on h ja jonka pohjana on ellipsi, akselit 2a ja 2b
2)Mikä on sen kappaleen pinta-ala, joka syntyy, kun lemniskaatta r^2=a^2*cosP(a=vakio, P=kulma 'fii') pyörähtää y-akselin ympäri
Arvostaisin kovasti jos pystyisitte selittämään nämä niin, että tälläinen keltanokka matemaatikkokin ymmärtäisi:)
Vastaukset 5
Vanhimmat
1.
I)
Integraalin alarajaksi 0 ja ylärajaksi h. Integroitava muuttuja t.
II)
t=0..h puoliakselit muuttuvat seuraavien yhtälöiden mukaisesti
a-t*a/h ja b-t*b/h.
III) ellipsin pinta-ala on A=Pii*a*b (tunnettu, saanee käyttää)
IV) Sijoitetaan A(t)=Pii*(a-t*a/h)*(b-t*b/h)
Sievennät
V) Integraali on 0..h A(t)dt
Tulos: Piiabh/3.
Saisiko vielä selvyyttä tuohon että kuinka sait nuo puoliakseleiden yhtälön? Ja onko se siis (a-t)*(a/h)?
Piirrä sivuprofiili kartiosta ensin siten, että kolmio jonka näet, kantana on 2a, josta saat ensimmäisen yhtälön. Sitten sivuprofiili siten, että kolmion kantana on 2b. Kuvasta pystyt tekemään yhtälöt ja ne oli alunperin oikein, ei mitään sulkuja tarvita. Mutta selvyydeksi oikein laskujärjestyksen mukaan sulutettuna a-(t*(a/h)).
Ideana on siis tehdä yhtälöt puoliakselin pituuksille parametrin t suhteen kun se saa arvot 0..h eli t on kartion eri korkeuksia kun liikutaan pohjasta huippuun. Ja tämän korkeuden t mukaan puoliakselien pituudet muuttuvat suoraviivaisesti. Yhtälöt ovat periaatteessa suoran yhtälöitä.
Selittäisitkö vielä yksityiskahtaisesti mistä tuo a-(t*(a/h)) tulee? Ymmärrän kyllä miten kuva piirretään mutten vain ymmärrä miten saat aikaiseksi tuon kaavan puoliakseleiden pituuksille.
Ajattele, että puoliakselin pituus menee lineaarisesti nollaan a:sta lähtien, kun etenet huippua kohden. Siis suoran yhtälö on kyseessä ja nollakohta huipussa (h:ssa) Siis kun t=h, niin tuo yhtälö on a-a=0 ja kun t=o, niin puoliakselin pituus on a.
Joskus ajatus jää polkemaan paikalleen, ja sitten kun tajuaa, niin jää ihmettelemään, missä se ongelma oikein olikaan ;-)
En tiedä tarvitseeko, mutta ellipsin alan kaavan johtaminenkaan ei ole mikään mahdottoman vaikea tehtävä. kunhan kaavan on ensin tehnyt, niin sitten sopivilla sijoituksella sen saa laskettuakin.