Joukko p_i = {1,2,...,i}, i on jokin luonnollinen luku. (nolla ei kuulu nyt siis mahdollisiin arvoihin)
C={ p_i | i kuuluu luonnollisiin lukuihin },
siis C on joukko jossa on joukkoja.
Kysymys: kuuluuko luonnollistenlukujen joukko nyt C:hen?
Nythän jokainen p_i sisltää äärellisen määrän
alkioita, ja tunnetusti luonnollisia lukuja on
äärettömän paljon --> siis olettaisi, että
vastaus on ei. Toisaalta jo vastaus on ei,
niin on olemassa jokin luonnollinen luku n joka
ei kuulu mihinkään joukkoon p_i (eikö?), mutta n
on luonnollinen luku siis joukko p_n kuuluu
joukkoon C ja edelleen... No nyt varmaan joku jo
ymmärtää ongelmani ja osaa avartaa minua kuinka
tätä tulisi ajatella!!
C={ p_i | i kuuluu luonnollisiin lukuihin },
siis C on joukko jossa on joukkoja.
Kysymys: kuuluuko luonnollistenlukujen joukko nyt C:hen?
Nythän jokainen p_i sisltää äärellisen määrän
alkioita, ja tunnetusti luonnollisia lukuja on
äärettömän paljon --> siis olettaisi, että
vastaus on ei. Toisaalta jo vastaus on ei,
niin on olemassa jokin luonnollinen luku n joka
ei kuulu mihinkään joukkoon p_i (eikö?), mutta n
on luonnollinen luku siis joukko p_n kuuluu
joukkoon C ja edelleen... No nyt varmaan joku jo
ymmärtää ongelmani ja osaa avartaa minua kuinka
tätä tulisi ajatella!!
Vastaukset 16
Vanhimmat
Ei kuulu. Asiaa voidaan ajatella vaikka näin:
Selvästi jokaisella joukon C jäsenellä p_i on suurin alkio, nimittäin i. Jos siis luonnollisten lukujen joukko N kuuluisi C:hen alkiona, pitäisi N:ssä olla suurin alkio, mikä ei tietenkään pidä paikkaansa, joten jo sen vuoksi N ei voi kuuluah C:hen alkiona.
"Toisaalta jos vastaus on ei,
niin on olemassa jokin luonnollinen luku n joka
ei kuulu mihinkään joukkoon p_i"
Tämä on nyt virheellinen päätelmä. Miten niin näin?
Tämä on totta:
Kaikille p_i löytyy sellainen n s.e n ∈ N, mutta n ∉ p_i.
p_i löytyy sellainen ni s.e ni ∈ N, mutta ni ∉ p_i.
Sinulla: mutta n kuuluu p_n.
n_i ∈ p_n_i...
Tietenkin n riippuu i:stä, mutta ei sitä tartte välttämättä alaindeksöidä. Vähän sama, kuin jatkuvuuden määritelmässä kaikille epsilon löytyy delta. Delta riippuu siinäkin epsilonista...
i:llä, niin tiedät vastauksen.
Kyseessä on se vananounli induktiivinen joukko.
kieltävät sen.
itsensä alkio.
Sou? Mitenkäs tämä nyt liittyy alkup. kysymykseen?
Joukon ei sallita olevan itsensä alkio, se on totta. Tässä ei nyt kyllä ole vaaraa, että niin kävisi, vai mitä haet takaa?
Joukkojen unioni voi kattaa kaikki luonnolliset luvut ilman että mikään joukoista olisi N.
Esim. {{1},{2},{3},...}
Tässä 'joukkojen joukko' on yhtä suuri kuin N, mutta yksikään jäsenjoukoista ei ole. Sama pätee omaan esimerkkiisi.
Se, että oman esimerkkisi joukot ovat mielivaltaisen isoja, ei muuta niiden äärellisyyttä. On helppo osoittaa, ettei N ole äärellinen (kardinaalina): Oleta, että N sisältäisi maksimijäsenen k. Mutta myös k 1 kuuluu joukkoon N, Peano-aksioomian takia. Kontradiktio.
Joo, kiitti. Eiköhän tällä jo pääse eteenpäin, nämä äärettömyys "ongelmat", saa joskus vaan pään sekaisin!
... tulit ajatelleeksi esimerkkiä kunnolla, sillä opit eron seuraavien peruskonseptien välillä:
1) Mielivaltaisen suuri äärellinen luku
2) Ääretön luku
Näillä on iso ero, eikä äärellisestä saa ääretöntä, vaikka kasvattaisit äärellistä kuinka suureksi. ;)
Jos ajattelemme joukkoa N ordinaalilukuna, ja vastaavasti joukkoja {1,2,3...,i} = i äärellisinä ordinaalilukuina, voit ajatella konseptia raja-arvona i ----> N. Jonon jäsenten ei tarvitse sisältää itse raja-arvoa, vaikka lähestyvätkin sitä.
Intuition fiksaaminen tässä tapauksessa voi olla haasteellista. Minulle tilanne valkeni kun tajusin, että äärettömyys ei ole luku - se on joukon ominaisuus. Tarkalleen ottaen ääretöntä lukua ei siinä mielessä ole kuin tunnut ajattelevan.
Voimme konstruoida luonnollisten lukujen joukon ja siinä tunnetusti jokainen alkio on äärellisen kokoinen, kuitenkin itse joukko on ääretön. Äärettömyys on siis joukon ominaisuus.
Käsite ehkä aukeaa jos ajattelet raja-arvoa jossa "n lähestyy ääretöntä". Tuo notaatio on nimittäin hieman eri asia kuin miten ääretön mielletään matematiikassa "oikeasti". Jos meillä on raja-arvo lim_{n\to infinity}f(n) = a, jossa a on joku (äärellinen) reaaliluku, niin itse asiassahan se tarkoittaa, että jokaiselle e>0 on olemassa sellainen N, että kaikilla k > N pätee |f(k)-a|
... ei ole siinä, etteikö äärettömiä lukuja voisi määritellä luontevasti, vaan ongelma on siinä, ettei koulumatematiikassa ole mahdollisuuksia tutkia monipuolisemmin määritelmiä sanalle 'luku'.
Ordinaaliluvun määritelmä (aksiomaattisena joukkona) yleistää luonnolliset luvut ja sallii äärettömiä lukuja. Siinä tapauksessa N on pienin ääretön ordinaali. Sen tapaiset raja-arvot voidaan nähdä 'kaikkien pienempien lukujen unioneina'. Tällöin 'ääretön' konkretisoituu hyvin selkeällä tavalla.
Kardinaaliluvut sen sijaan määritellään bijektioiden ekvivalenssiluokkina. Tämä vastaa lähemmin käsitystä luvun 'suuruudesta'. Esim. R^2 ja R ovat joukkoina 'yhtä suuria', koska niiden välillä on bijektio.
Viime kädessä voimme hyväksyä nämä käsitteet, koska niille voi määritellä 'luvuille' tyypillisiä ominaisuuksia luontevasti: yhteenlaskua, kertolaskua (jolle ei aina tosin päde ab=ba), jne. Tietenkin auttaa, että ne myös sisältävät luontevasti luonnolliset luvut.
... oli, ettei intuitiotaan ehkä kannatakaan fiksata! Äärettömyys muuttuu helpommaksi, kun siitä puhutaan hyväksyttävänä ja todellisena asiana.
Siinä missä 'äärettömyys' on joukon ominaisuus, voin väittää, että 'luku' on itsessään joukon ominaisuus! Onko parempaa tapaa määritellä 'luku'?
Jos halutaan mennä pidemmälle, niin olet tietysti oikeassa. Mielestäni on kuitenkin oleellistä lähteä siitä mitä kysyjä tässä ilmeisestikin sanalla "luku" käsittää. Minähän sanoin, että äärettömyys on tässä "joukon ominaisuus" ja sinähän veit tätä vain pidemmälle toteamalla, että voidaan määritellä luvut joukkoina ja joukothan eroavat mm. niiden ominaisuuksien perusteella. (joskin määritelläänhän nämä joukotkin yleisesti ottaen käyttäen ainakin jollain tasolla luku-sanan "naivistista" tulkintaa)
Määrittelemällä siis eri suuruisia äärettömyyksiä käsittelemme lopulta äärettömiä joukkoja, eli joukkoja joilla on ominaisuus "ääretön". Jos kysyjälle tässä vaiheessa valkenee, että ääretön voidaan käsitteenä määritellä "sellaiseksi joukoksi, jonka aidolta osajoukolta on bijektio joukolle itselleen", niin luulisin sen avaavan vähän tilannetta hänelle.
Mikäänhän ei estäisi määrittelemästä matriiseja luvuiksi - kyseessähän on vain valittu määritelmä. Intuitiivisesti luku kuitenkin viittaa otukseen, joka täyttää esim. liitännäisyyden ja assosiatiivisuuden määritelmät, mutta näistä jouduttaisiin "jossain määrin" luopumaan pidemmälle mentäessä.
Summana voisi todeta, että asiat ovat kuten ne määritellään :) (vaatien tietysti konsistenttius)
... en suinkaan ollut eri mieltä kanssasi, mutta halusin välttää skenarion, jossa lukijat vetävät liikaa johtopäätöksiä 'aktuaalisista luvuista'. Loppujen lopuksi ei ole mitään ihan helppoa tapaa määrittää luku -- ja ne hyvät määrittelytavat sisältävät äärettömiä lukuja erittäin luontevasti, paremmin kuin esim. matriiseja.