Sinulla on 10 m korkea yhden metrin läpimittainen vesisäiliö. Poraat siihen reiät alhaaltalukien 1 m välein. Miltä korkeudelta reiästä tuleva vesisuihku lentää pisimmälle?
vesi lentää
kaarena
246927
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 24
Vanhimmat
luultavasti alimmasta reiästä (eli yhden metrin korkeudesta) koska veden paine on siellä luonnollisesti suurin.
Koululaisen ääriarvotehtävä.
Tulos on puolivälistä, eli 5 m:n korkeudesta
H
Siinä se.
Lumi lähtee siivestä suurimmalla nopeudella suoraan eteenpäin, jos kyseessä liki puolikaaren muotoinen siipi. siipeä käännettäessä vinoon lumen heittonopeus laskee, samalla kun lumi saa sivuttaiskomponenttia.. Jossakin kulmassa on paras heittokulma?
Jostain olen kuullut, että veden virtausnopeus saataisiin laskettua karkeasti olettamalla liike-energia yhtä suureksi kuin sen päällä olevan veden potentiaalienergia pienenee.
Tuohon liittyen virtausnopeuden lauseke korkeuden funktiona voi olla yksinkertainenkin, mutta en sano mitään ilman laskuja...
Sitten kun tiedät virtausnopeuden lausekkeen korkeuden funktiona, ja heittoliikkeen yhtälöä hyväksikäyttäen luonut pituuden lausekkeen korkeuden funktiona, niin loppu on helppoa funktion ääriarvon etsimistä.
Jäi vaivaamaan tuo virtausnopeus sen verran, että piti laskea. Käyttämällä edellä mainitsemaani lähtökohtaa sain tuloksen, että v = √(2gh).
h on tässä reiän syvyys pinnasta laskettuna ja g on putoamiskiihtyvyys.
Näin muistelinkin, että joku joskus väitti, että nopeus on yhtä suuri kuin veden nopeus olisi vapaapudotuksessa pinnalta tiputettuna reiän korkeuteen. Nyt tuli sekin väite tarkistettua.
Tuosta eteenpäin pitäisi lukion matematiikalla soljua. Millä pohjalla kyselet? Ilman lukion matematiikan hallitsemista tuo ei suju tästäkään eteenpäin, mutta jos vain vastaus kiinnostaa, eikä kyse ole kotitehtävistä, niin voin joskus sopivana aikana laskea loppuunkin asti.
.... systeemissä vaikuttava hydrostaattinen paine. Miten se on huomioitava. Tässähän ei ole kyseessä vapaa putoaminen. Luulisin.
Kyselen tätä siksi, että 1) kauan sitten olen opiskellut fys cl:n ja 2) poikani lukion mekaaniikan oppikirjassa (Kirjayhtymä) on kuva ko. tilanteesta. Kuva on juuri hydrostattisen paineen kohdalla. Mitään laskuesimerkkejä tai tehtäviä ei kuitenkaan siitä ole, enkä muualtakaan ole löytänyt. Minu kiinnostaa löytää yhtälö, jolla saataisiin vesisuihkun alkunopeus selville. Olisiko vaikka linkkejä?
Laskin sen tuossa aiemmin, kun sattui itseänikin kiinnostamaan. Voin laittaa sen tähänkin, kun se meni melko pienellä tekstimäärällä.
Lähtökohtana siis se, että veden pinnan laskiessa koko reiän yläpuolinen vesipatsas tipahtaa alaspäin, ja sen potentiaalienergia muuttuu reiästä purkautuvan veden liike-energiaksi.
Kirjoitan sen tähän heti erään TV-sarjan loppumisen jälkeen ;-)
No niin. Eli lähtökohtana on, että Säiliössä olevan vesipatsaan "tipahtamisesta" vapautuva energia muuttuu reiästä ulos valuvan veden liike-energiaksi.
m1*g*Δh = 0.5*m2*v² Δh on siis pinnan vajoma
Sijoitetaan m1= A*h*roo, h on siis reiän syvyys pinnasta laskettuna, A säiliön poikkipinta-ala, roo veden tiheys.
Sijoitetaan toiselle puolelle. m2 = A2*Δl*roo, A2 on reiän poikkipinta-ala, Δl reiästä valuvan noron pituus, joka vastaa pinnan vajoamaa Δh.
vielä kirjoitetaan Δh/Δl = A2/A, josta Δh = Δl*A2/A ja sijoitetaan lausekkeeseen.
Nyt supistamisien jälkeen jää jäljelle
g*h = 0.5*v², josta v = √(2gh)
Joo siis kyse on energiaperiaatteesta. :)
Bernoullin laki sanoo :
p 0,5*roo*v^2 roo*g*h=vakio
p1 0,5/roo*(v1)^2 roo*g*h=p2 0,5*roo*(v2)^2 0
nollataso on siis reiän tasolla, ja h siitä säiliön pintaan
p1=p2=ilmanpaine , joka on sama säiliön pinnalla ja reiän kohdalla
roo on veden tiheys
v1 on säiliöön tulevan tavaran nopeus, ja koska tavaraa ei tule v1=0
yhtälöstä jää
roo*g*h=0,5*roo*(v2)^2 , eli
Hydrostaattinen paine on veden ulosvirtauksen kineettinen paine. Siinä se.
Tuosta saadaan v2=SQRT(2gh)
Vesi putoaa ajassa t maahan, eli (10-h)=0,5*g*t^2
Tuosta saadaan t^2=2/g*(10-h)
Kantama saadaan s=v2*t, eli s^2=(v2)^2*t^2=>
s^2=2gh*2/g*(10-h)=40h-4h^2
Tuolle kun haetaan maksimia pitää derivaatta h:n suhteen asettaa nollaksi.
derivoidaan
2s*s`=40-8h=>s`=(20-4h)/2s
Se kun asetetaan nollaksi, tulee 20-4h=0=>h=5
Siinä oli ajatusvirhe.
Bernoullin yhtälössä v1 on virallisesti virtausnopeus alkupäässä .Ja silloin hydrostaattinen paine on loppupään kinemaattinen paine -alkupään kinemaattinen paine.
Tässä kuitenkin koska reiän pinta-ala on hyvin pieni verrattuna säiliön pinta-alaan ,niin voidaan olettaa v1=0.
(Tässähän pätee jatkuvuusyhtälö
v1*A1=v2*A2, josta vi=v2*A2/A1 ,ja jos
porattu reikä on 20 mm, niin v1=4*v2/10 000
ja tuo Bernoullin yhtälö:
8*v2^2/(10 000*10 000) gh=0,5*v2^2
0,00000008*v2^2 gh=0,5*v2^2
voidaan olettaa ilman suurta virhettä:
gh=0,5*v2^2)
Kyseessä ei ole stationäärinen virtaus, jolloin Bernoullin yhtälön alkupäässä ei ole liike-energia termiä, joten tuo alkuperäinen pähkäily on oikeampi.
v = √(2gh)
h on tässä reiän syvyys pinnasta laskettuna ja g on putoamiskiihtyvyys.
Ok.
10m korkea vesipatsas vastaa 1 Bar painetta
eli jos kuvitellaan vesiletku vaaka-asennossa ja paine on esim. 10 bar (= 100m korkea vesipatsas) niin virtausnopeus on tuolloin
v = √(2*9,81*100m)
=> 44,294469181 metriä sekunnissa
v = √(2gh)
h on tässä reiän syvyys pinnasta laskettuna ja g on putoamiskiihtyvyys.
Ok.
10m korkea vesipatsas vastaa 1 Bar painetta
eli jos kuvitellaan vesiletku vaaka-asennossa ja paine on esim. 10 bar (= 100m korkea vesipatsas) niin virtausnopeus on tuolloin
v = √(2*9,81*100m)
=> 44,294469181 metriä sekunnissa.
Jatketaan kaavaa.
Jos kehän pituus on 1m ja siihen kohdistetaan esim. paineilmaa 10 bar paineella, jolloin virtauksen nopus on toi edellämainittu 44.3m/s
Halkaisija? (lähinnä informatiivinen asia)
Kehä = 1m jolloin halkaisija on (100cm/pii (pii=3,14)) =31,85cm
Ok. jatkuu
RPM?
Kehänpituus on edelleen se 1m ja virtaus nopus 44.3m/s
aika (1min=60sek) x 44.3 m/s = 60 s x 44.3 m/s =>
=>2658 kierrosta min.
Jos ne yhtäaikaa avataan, niin kaikissa reijissä on vetellä sama lähtönopeus, ja ylimmästä lentää pisimmälle.6m.
(jos tässä oli kyseessä tapaus,missä on tarkoitus porata yksi reikä sellaiselle korkeudelle, että vesi lentäisi mahdollisimman pitkälle, on se reikä porattava viiteen metriin)
kumpaa meinaat,kaaren pituutta,vai etäisyyttä säiliön reunasta,vaakasuoraan?
Joo tarkoitan etäisyyttä vaakasuoralla alustalla ja reikä kerrallaan. Ei kaikkia reikiä samalla kertaa. No sitäkin voi tutkailla.
Luulen että alimmasta lentää suuremman paineen vuoksi kauemmas. En osaa laskea sitä.
Saadaan 5m.
lähtönopeus vaakasuoraan k*h.
putoamiskiihtyvyys g. Putoamisaika ½gt^2=(10-h).
t = sqrt(2*(10-h)/g)
Entämä: k*h*t = k*h*sqrt(2*(10-h)/g).
maksimoidaan h:n suhteen. Itse sain 6.66.. metriä.
Oletus v = k*h on tuossa liian hätäinen.
Olen miettinyt mikä on veden nopeus suuttimen päässä painepesurissa , tuolla edellä olevalla kaavalla päästään melko hurjiin yliääninopeuksiin. Ja mikä olisi käytännössä nopeus minkä saisi esimerkiksi ilmakiväärin kudille... Noniin vastaan tässä itse itselleni googletuksen jälkeen, tosin tämä on vesileikkuri:
Vedenpaine ennen vesisuutinta on 3000...4000 bar ja vesisuihkun nopeus vesisuuttimen jälkeen on noin 600...900 m/s eli 2...3 Mach.
No huh huh !
Ennuste sille, kuinka kauas vesikaari yltää, saadaan kaavalla 2 x k x (h x (H - h))^-2, jossa k on kuroutumiskerroin (~0,85 - 0,95), h on aukon korkeus tasosta, jonka vesikaari kohtaa ja H on vesipatsaan pinnan korkeus tasosta, jonka vesikaari kohtaa. Merkintä ^-2 tarkoittaa neliöjuurta.
Annetaan vakiolle k arvoksi 0,9 ja lasketaan kaaren kohtauspisteen etäisyys kolmelle reiän korkeudelle, 6 m, 5 m ja 4 m.
2 x 0.9 x (6 m x (10 m - 6 m))^-2 = 1,8 x 24^-2 m = 1,8 x 4,9 m = 8,2 m
2 x 0.9 x (5 m x (10 m - 5 m))^-2 = 1,8 x 25^-2 m = 1,8 x 5,0 m = 9,0 m
2 x 0.9 x (4 m x (10 m - 4 m))^-2 = 1,8 x 24^-2 m = 1,8 x 4,9 m = 8,2 m