probleema

Jos g(a)=0, niin deg(a) ei välttämättä olisi

ffffs kirjoitti:

Jos g(a)=0, niin deg(a) ei välttämättä olisi

Oli annettu ehto f(x)=(x-a)g(x). Onko
x^2-1=(x-sqrt(2))(1/sqrt(2) x-1)?

Jos f\in Q[X] ja f(a)=0, niin eikös myös f(x)/(x-a)\in Q[X]?

Ilmeisesti esitykseni ei ollut tarpeeksi selvä. Jos g(a)=0, g voidaan hajottaa jaottomien tekijöiden tuloksi, joiden asteet < n ja jollakin tekijällä on juuri a. Tämä on ristiriita, sillä a:n minimaalipolynomi on astetta n.

Zäki kirjoitti:

Ilmeisesti esitykseni ei ollut tarpeeksi selvä. Jos g(a)=0, g voidaan hajottaa jaottomien tekijöiden tuloksi, joiden asteet < n ja jollakin tekijällä on juuri a. Tämä on ristiriita, sillä a:n minimaalipolynomi on astetta n.

Esimerkki ei kelpaa sinänsä, että tällaista g:tä ei voi löytyä, mutta se oli esimerkki siitä, että g EI OLE kokonaislukukertoiminen välttämättä tai itse asiassa koskaan.


a:n minimaalipolynomin TÄYTYY olla KOKONAISLUKUKERTOIMINEN (tai ekvivalentisti rationaaliluku).

katsotaanpa uudestaan olkoon deg(a)=n
Nyt f(x)=(x-a)g(x) deg(g)=n-1, mutta se, että
olisi g(a)=0 ei tarkoita, että deg(a)

ffffs kirjoitti:

Esimerkki ei kelpaa sinänsä, että tällaista g:tä ei voi löytyä, mutta se oli esimerkki siitä, että g EI OLE kokonaislukukertoiminen välttämättä tai itse asiassa koskaan.


a:n minimaalipolynomin TÄYTYY olla KOKONAISLUKUKERTOIMINEN (tai ekvivalentisti rationaaliluku).

katsotaanpa uudestaan olkoon deg(a)=n
Nyt f(x)=(x-a)g(x) deg(g)=n-1, mutta se, että
olisi g(a)=0 ei tarkoita, että deg(a)

Unohdin antaa ratkaisun.

Jos g(a)=0, niin f(x)=(x-a)^2*h(x), missä deg(h)=n-2. h ei välttämättä kokonaislukukertoiminen.

Miten saada kok.lukukertoiminen n-1 asteinen polynomi. Hmmm..Koska f on klk ja astetta n, niin f' on klk ja astetta n-1. Jos nyt f'(a)=0, niin ristiriita löytyy, koska deg a=n.
f'(x)=2(x-a)h(x) (x-a)^2h'(x) ja selvästi f'(a)=0 ja voila ristiriita.