Kappale lähtee levosta puolipallon päältä liukumaan pitkin kitkatonta pintaa. Miten korkalla se irtoaa pallon pinnasta? (puolipallon säde on R)
Pyörimisliike
tehtävä
171308
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 17
Vanhimmat
???
kpl irtoaa silloin kun keskipakovoima on saman suuruinen kuin maanvetovoiman säteen suuuuntainen komponentti.
mv^2/R=cos(kulma)*mg, (kulma on kellonviisarikulma 12.00=>)
kiihtyvästä liikkeestä saadaan: kuljettu matka on
s=v^2/(2g)=kulma(rad)*R
sijoitetaan ylemmästä v alempaan, tulee
R*cos(kulma)*g/(2g)=kulma(rad)*R=>
kulma(rad)=cos(kulma)/2
iteroimalla tulee kulma=25,8 astetta
(tuntuu aika pieneltä, eihän se ole edes viittä minuuttia yli, taitaa olla väärin)
piste
pistemäiselle massalle liikeyhtälö normaalin suunnassa on:
ma=N-cos(kulma)mg
v=Nt-cos(kulma)mgt
N=pallopinnan aiheuttama tukivoima
irtoamishetkellä v=0
0=Nt-cos(kulma)mgt=>N=cos(kulma)mg
joten ma=0
pistemäinen massa ei irtoa puolipallon pinnasta
piste
Lähtökohtana voi vaikka käyttää energiaperiaatetta, eli potentiaalienergia muuttuu liike-energiaksi.
Sitten korkeus pitää vain ilmaista kulman avulla perustrigonometrialla.
Sitten voidaan asettaa "keskipakoisvoima" yhtä suureksi kuin painovoiman pintaa vastaa kohtisuora komponentti.
Saadun lausekkeen supistelun jälkeen sain
cos(fii) = 2/3, josta kulma on helppo ratkaista.
Mahdolliset laskuvirheet johtuvat krapulasta...
piste
Enpä usko, jollet perustele.
minäkin sain cos(a) = 2/3
eli a = 48,2deg
Siinä ei synny keskipakovoimaa ollenkaan.
Jotta syntyisi sen puolipallon pitäisi pyöriä keskipisteensä ympäri.
Tässä vain kappale laskettelee puolipallon kaarella.
Noh, varsinasta keskipakoisvoimaa ei ole koordinaatistossa joka on pyörimätön. Silloin tarvitaan keskihakuisvoimaa, jotta kappale saataisiin kulkemaan puolipallon kaarta pitkin. Ainoa voima mikä keskihakuisvoimaa voi aiheuttaa on maan vetovoiman pintaa vastaan kohtisuora komponentti. Se lähestyy nollaa, kun kappale lähestyy pulipallon alaosaa. Tarvittava keskihakuisvoima taas kasvaa nopeuden kasvaessa.
Tästä siis seuraa, että kappale ei pysy puolipallossa loppuun asti, ja tuosta laskusta voit katsoa, milloin kappale irtoaa pinnasta.
Lasku voidaan kyllä ajatella laskettavan kappaleen mukana kiertyvän pyörivän koordinaatiston avulla, jonka origo on puolipallon keskipisteessä. Silloin voidaan puhua siitä keskipakoisvoimastakin.
Lopputulos on sama.
Minä ainakin laskin pisteen nopeuden pyörivässä koordinaatistossa, jonka origo on pallon koordinaatistossa ja x-akseli kulkee liukuvan kappaleen kautta.
Tällöin koordinaatistossa on keskipakovoima. Tällöin x-akselin suuntainen (eli säteen suuntainen) voimayhtälö on
N - m·g·cos(a) m·R·ω² = 0
Siinä N on pinnan ja kappaleen välinen tukivoima, -m·g·cos(a) painovoiman x-komponentti ja m·R·ω² on keskipakoisvoima. Se voidaan tietysti myös kirjoittaa
N - m·g·cos(a) m·v²/R = 0
Kappale irtoaa pallon pinnasta kun N = 0, eli
v² = R·g·cos(a)
Energiaperiaatteella saa toisen yhtälön ja niistä yhdessä saadaan ratkaistua
cos(a) = 2/3
"" Minä ainakin laskin pisteen nopeuden pyörivässä koordinaatistossa, jonka origo on pallon koordinaatistossa ""
Yritin siis kertoa, että pyörivän koordinaatiston origo on ympyrän keskipisteessä...
Tuo w on sen pyörivän koordinaatiston kulmanopeus,eikä kappaleen. Se on nolla, koska puolipallo ei pyöri.
se ω on kylläkin koordinaatiston pyörimiskulmanopeus ja myös kappaleen, koska koordinaatiston x-akseli on kiinnitetty kappaleeseen.
Kyse on tästä:
http://en.wikipedia.org/wiki/Rotating_reference_frame
koska painovoimasta ja kappaleiden massoista ei puhuttu mitään.
Jo kappale lähtee liukumaan kaarevalla pinnalla, jolla on jokin kaarevuussäde R, niin irtoaa se siitä heti, koska kappleet liikkuvat suoraviivaisilla radoilla, jollei niihin vaikuta mikään voima.
Pisteen nopeus kiertokulman a funtiona
v = sqrt ( 2 g r ( 1 - sin ( a ) ) )
jossa sqrt() tarkoittaa neliöjuurta. Kulma a on lähtöhetkellä suorakulma, pisteellä ei ole lähtönopeutta. Kulma a pienenee pisteen liukuessa pallon pinnalla.
Keskipako(haku)voima
F = m v^2 / r
Pisteen painovoiman komponentti kohtisuoraan pallon pintaa vastaan
F' = m g sin ( a )
Piste irtoaa pallon pinnasta, kun F = F'. Suoralla laskulla saadaan sin ( a ) = 2 / 3, kulma a on noin 41.8 astetta.
Jos en nyt väärin muista, joku edellä oli saanut cos ( a ) = 2/3, siinä oli käytetty eri määritelmää kulmalle: lähdössä kulma on = 0, pisteen liukuessa kulma kasvaa. Ylläolevassa kulma = 90 astetta lähdössä. Tulos on jokatapauksessa sama ( onpas hyvää portviiniä ).