siis jos yrittää määrittää 0^0 arvoa binomikaavalla:
http://gallia.kajak.fi/opmateriaalit/yleinen/teli/matematiikka1-2/kuvat/potenssisaannot/9.gif
(x y)^n laittamalla x,y,n,k nolliksi, niin silloinhan saadaan muoto 0^0 = 1*(0^0)*(0^0) josta saadaan supistamalla 0^0 = 1, kun hylätään 0^0 = 0. Tuo arvo 1 sopisi yhteen raja-arvon x^0 kanssa kun x --> 0.
No siis joo :)
Kysynpä vain, että miksei 0^0 ole määritelty ja millaisia ristiriitaisuuksia siittä johtuisi?
http://gallia.kajak.fi/opmateriaalit/yleinen/teli/matematiikka1-2/kuvat/potenssisaannot/9.gif
(x y)^n laittamalla x,y,n,k nolliksi, niin silloinhan saadaan muoto 0^0 = 1*(0^0)*(0^0) josta saadaan supistamalla 0^0 = 1, kun hylätään 0^0 = 0. Tuo arvo 1 sopisi yhteen raja-arvon x^0 kanssa kun x --> 0.
No siis joo :)
Kysynpä vain, että miksei 0^0 ole määritelty ja millaisia ristiriitaisuuksia siittä johtuisi?
Vastaukset 12
Vanhimmat
... kuuluukin: Miten määrittelisit 0^0, ja mitä hyötyä siitä olisi?
Määritelmiä voi tehdä minkälaisia tahansa, mutta tässä tapauksessa nollaan korottaminen on nimenomaan dominoiva ominaisuus, sillä nollaahan ei kerrota minkään muun kanssa. Emme voi perustella 0^0 = 0 (Funktion f(x) = 0^x ei tarvitse perustellusti olla jatkuva kohdassa x=0, sillä se ei ole edes määritelty, kun x
... korostaa, että vaikka tekisimme määritelmän esim. binomikaavan tarpeisiin, emme suinkaan määrittele mitään 'binomikaavalla'.
Määritelmä on määritelmä. Huono määritelmä on sekin sallittu. Voimme määritellä 0^0 = 27, jos haluamme, mutta määritelmä johtaisi rumuuteen ja rajoituksiin.
Sopii katsoa minkä tarkoituksiin x^0 on yleensäkin määritelty:
Kun x ei ole 0,
1 = x^a * x^(-a)
Jos haluamme x^a * x^b = x^(a b) toimivan, meidän on määriteltävä x^0 = 1.
Tarkoitusperä koskee vain ei-nollia x.
Siksi on hyvä mainita erikseen jos laittaa 0^0 = 1 , mm. binomikaavan tarpeisiin. Loppujen lopuksi määritelmä ei ole mitenkään syvällinen, vaan se on lähinnä konventio.
Nollaan korottamisen intuitioksi voisi yleistää tämän:
Ei-negatiiviselle kokonaisluvulle n,
x^n = 1 * x*...*x
Missä x esiintyy n kertaa.
Tällä intuitiolla 0^0 = 1, ilman mitään epäselvyyttä.
... googlen haku antaa 0^0 = 1. Sanoisin, että konventio on aika lailla selvä.
Saattaisin mennä niinkin pitkälle, että 0^0 = 1 on toimiva ja hyväksyttävissä yleiseksi määritelmäksi.
...taas 0^a --> 0, kun a --> 0...
Mielestäni tässä tilanteessa voisi käyttää perverssiä Gibbsin ilmiötä, vähän kuin fourier-analyysissäkin. :D
kun a^0 --> 1, a --> 0 | 0^a --> 0, a --> 0
==> 0^0 = 1/2
Yleisesti analyysin puolella 0^0 määrittelemättömyys perustellaan sillä, että funktio f(x,y)=x^y ei ole jatkuva origossa.
Toisaalta diskreetin matematiikan puolella 0^0 = 1 yleensä mukavuussyistä. Vähän samaan tapaan, kuin mitta ja integraaliteoriassa 0 ⋅ ∞ = 0 mukavuussyistä.
Yhteenvetona voitanee sanoa, että 0^0 löytyy joissakin yhteyksissä luonteva määrittely, mutta joissakin yhteyksissä taas sitä ei löydy. Sen vuoksi sille ei löydy mitään määrittelyä, joka pätisi jokaisella matematiikan osa-alueella.
0^x, x>=0 ei olisi jatkuva kohdassa x=0. Mutta mitä siitä? Tarvitaanko tätä jatkuvuutta? Onko rumuus ylitsepääsemätöntä? Onko parempaakaan määritelmää?
Mietitään kuvaajia f_a (x) = a^x, kun a--->0. Okei, nämä jatkuvat funktiot lähestyvät tasaisesti ei-jatkuvaa raja-arvoa. Mutta mitä siitä? Onhan paljon muitakin esimerkkejä tälläisestä käyttäytymisestä.
Mielestäni x^0 on vain merkintä luvulle 1, ei enempää eikä vähempää. En ajattele sitä jatkeena funktiolle 0^x -- kaikkea ei voi saada, mutta hyvä että saamme edes jotakin.
:D Jooh... Miksei noinkin :D
kuten sanoin, niin diskreetillä puolella nou probleemo, mutta analyysissä ei toimi.
"Mietitään kuvaajia f_a (x) = a^x, kun a--->0. Okei, nämä jatkuvat funktiot lähestyvät tasaisesti ei-jatkuvaa raja-arvoa."
Jos f_a:t lähestyvät tasaisesti jotain, niin rajafunktion on myös oltava jatkuva. Pisteittäinen lähestyminen toki onnistuu, mutta ei tasainen tässä tapauksessa.
" Yleisesti analyysin puolella 0^0 määrittelemättömyys perustellaan sillä, että funktio f(x,y)=x^y ei ole jatkuva origossa. "
No kai meillä on oikeus pysytellä reaaliakselilla tuon f(x,y):n kanssa. Sijoitetaan vain y=kx ,keR
Sitte valitaan k=0 koska ollaa reaaliakselilla ja lasketaan raja-arvo:
f(x,y)=f(x,kx)=(x^k)^x=(x^0)^x=1^x --> 1, x--> 0.
... aivan totta, eivät lähesty tasaisesti.
Mielestäni 0^0 ei tosin ole juuri mitään annettavaa analyysille -- mutta diskreetille puolelle se yleistää muutamia asioita.
Miten perustelet tätä oikeutta?
Minusta pitäisi tutkia kaikkia funktioita h(x) = f(x)^g(x), joille pätee f(x),g(x) --> 0, kun x-->0. Tämä on tietyllä tapaa samanlainen tilanne, kuin että tarkastellaan funktiota i(x,y) = x^y, kun (x,y) lähestyy origoa eri tavoin. Raja-arvoa ei ole, joten ei myöskään oikein järkevää tapaa määritellä 0^0 analyysin tarpeisiin.
Samalla tavalla voidaan perustella, että "0/0":lle ei löydy järkevää määritelmää. Tutkitaan funktion f(x,y) = x/y raja-arvoa origossa, mitä ei ole jo pelkästään siistä syystä, että f(x,kx) = 1/k --> 1/k, kun x --> 0, eli lähestyttäessä origon kautta kulkevia suoria pitkin, lähestytään eri lukua riippuen suoran kulmakertoimesta.