Laitetaan saaviin vettä ja laitetaan se pyörimään vaikkapa saven valantaan tarkoitettuun pyörivään alustaan. (dreija) Mietiskelin tässä, että miten saa lasketuksi muodon, johon vesi menee saavin pyöriessä. Ennestään olen kuullut että tulos pitäisi olla paraaboloidi, mutta en ole sitä koskaan laskenut.
Kyselen huvikseni nyt, olenko pohdinnoissani metsässä. Kaavoja ei ole pakko tarkistaa eksplisiittisesti. Laskuvirheistä pidän vastuun itselläni. Ajattelin vain tarkistaa, onko perusperiaatteissa jotain korjattavaa.
Symmetriasyistä riittää ratkaista veden pinnan poikkileikkauksen yhtälö h(r), jonka siis pitäisi olla paraabeli.h on pinnan korkeus ja r kohtisuora etäisyys ämpärin keskeltä.
Ajattelin, että ehkäpä tämä onnistuisi variaatiolaskulla. Perusideana on minimoida veden potentiaalienergia sillä ehdolla, että tilavuus pysyy vakiona.(ja ämpärin mitat tietysti)
Kirjoitetaan ensin se kokonaistilavuus h(r):n avulla. dr paksuisen sylinterinkuoren tilavuus on 2*pi*r*h(r)*dr. (kehän pituus kertaa korkeus kertaa paksuus)
=>kokonaistilavuus V = int( 2*pi*r*h(r) )dr (=vakio)
(integrointirajoina 0->R, R on saavin säde)
Vastaavanlaisten sylinterin kuorien potentiaalienergia maan gravitaatiokentässä:
= 1/2*h(r)*g*dm, jossa dm äskeisen perusteella on
dm = roo*2*pi*r*h(r)*dr, roo on tiheys.
=> maan vetovoiman aiheuttama potentiaali vedelle on
U1 = int( pi*roo*g*(h(r))² )dr
Keskipakoisvoiman aiheuttama potentiaali taas voidaan laskea seuraavasti:
Etäisyydellä r olevan massan dm potentiaali keskipakoisvoimassa on
int(F(r))dr ja F(r) = dm*r*w² saadaan potentiaaliksi 1/2*r²*w²*dm
dm on nyt sama kuin yllä, ja sijoittamalla saadaan että koko vedelle potentiaali keskipakoisvoimassa on
U2 = int( Pii*w²*r³*h(r) )dr
Nyt alkuperäinen idea siis oli minimoida U1 U2 ehdolla V on vakio.
Variaatiolaskulla tuo pitäisi muuttua differentiaaliyhtälöksi, johon yritteenä ajattelin käyttää toisen asteen polynomia.
Lasken joskus myöhemmin loppuun. Voi olla, että pitää vielä määrätä sopivia reunaehtoja. Ajattelin vain ensin kysyä, että mahtaakohan tuossa olla alunperin jokin kömmähdys. Esimerkiksi olen huomioinut vain potentiaalienergiat, mutta en liike-energioita, koska tilanne pitäisi olla staattinen jne.
Löytyykö jotain fiksumpaa tapaa ratkaista tuo ongelma?
Kyselen huvikseni nyt, olenko pohdinnoissani metsässä. Kaavoja ei ole pakko tarkistaa eksplisiittisesti. Laskuvirheistä pidän vastuun itselläni. Ajattelin vain tarkistaa, onko perusperiaatteissa jotain korjattavaa.
Symmetriasyistä riittää ratkaista veden pinnan poikkileikkauksen yhtälö h(r), jonka siis pitäisi olla paraabeli.h on pinnan korkeus ja r kohtisuora etäisyys ämpärin keskeltä.
Ajattelin, että ehkäpä tämä onnistuisi variaatiolaskulla. Perusideana on minimoida veden potentiaalienergia sillä ehdolla, että tilavuus pysyy vakiona.(ja ämpärin mitat tietysti)
Kirjoitetaan ensin se kokonaistilavuus h(r):n avulla. dr paksuisen sylinterinkuoren tilavuus on 2*pi*r*h(r)*dr. (kehän pituus kertaa korkeus kertaa paksuus)
=>kokonaistilavuus V = int( 2*pi*r*h(r) )dr (=vakio)
(integrointirajoina 0->R, R on saavin säde)
Vastaavanlaisten sylinterin kuorien potentiaalienergia maan gravitaatiokentässä:
= 1/2*h(r)*g*dm, jossa dm äskeisen perusteella on
dm = roo*2*pi*r*h(r)*dr, roo on tiheys.
=> maan vetovoiman aiheuttama potentiaali vedelle on
U1 = int( pi*roo*g*(h(r))² )dr
Keskipakoisvoiman aiheuttama potentiaali taas voidaan laskea seuraavasti:
Etäisyydellä r olevan massan dm potentiaali keskipakoisvoimassa on
int(F(r))dr ja F(r) = dm*r*w² saadaan potentiaaliksi 1/2*r²*w²*dm
dm on nyt sama kuin yllä, ja sijoittamalla saadaan että koko vedelle potentiaali keskipakoisvoimassa on
U2 = int( Pii*w²*r³*h(r) )dr
Nyt alkuperäinen idea siis oli minimoida U1 U2 ehdolla V on vakio.
Variaatiolaskulla tuo pitäisi muuttua differentiaaliyhtälöksi, johon yritteenä ajattelin käyttää toisen asteen polynomia.
Lasken joskus myöhemmin loppuun. Voi olla, että pitää vielä määrätä sopivia reunaehtoja. Ajattelin vain ensin kysyä, että mahtaakohan tuossa olla alunperin jokin kömmähdys. Esimerkiksi olen huomioinut vain potentiaalienergiat, mutta en liike-energioita, koska tilanne pitäisi olla staattinen jne.
Löytyykö jotain fiksumpaa tapaa ratkaista tuo ongelma?
Vastaukset 4
Vanhimmat
http://www.youtube.com/watch?v=kcizFC-Qt_U
Nuo eivät saaneet mitään "siistiä" syntymään. Siinä kylläkin pyörii vain pohjalevy ja mahdollisesti sen "heitto" aiheuttaa kyseisen ilmiön. Ja lisäksi siinä on mukana seinämästä aiheutuva kitka nesteeseen, koska seinä ei pyöri mukana. Saavitaupaus on erilainen.
Pitäisi varmaankin ensin kokeilla pyörivällä astialla asiaa varmuuden vuoksi.
No joka tapauksessa hydrostaattiselle paineelle on voimassa:
http://en.wikipedia.org/wiki/Fluid_statics
Saavissa ainakin nesteen pinnalla hydrostaattisen paineen pitää siis olla sama kuin ilmakehän ja mentäessä pinnan alapuolelle se rupeaa kasvamaan jatkuvana riippumatta siitä, miten pinta on muodostunut. Elikkä syvyys on syvyyttä myös pyörivässä saavissa. Tuosta saa reunaehdon. Elikkä sukellettaessa veteen paine lisääntyy mentäessä yhä pidemmälle pinnan normaalista yhtälöllä:
P = roo*j*h Pi
jossa
j = jotain "hauskempaa" kuin pelkkä vetovoimakiihtyvyys
h = syvyys pinnan normaalin suunnassa pinnan alapuolella
roo = veden tiheys
Pi = ilmanpaine saavin lähistöllä
j siis riippuu tarkastelupaikasta, saavin pyörimisnopeudesta, mitoista jne. Mutta jos
saavi ei pyöri, niin j = g jolla voi tarkistaa lopputuloksen.
Elikkä pitää tarkastella jonkin nestehiukkasen painetta saavin sisällä etäisyydellä h pinnasta (oli pinta sitten miten tahansa muodostunutkin). Keskipakovoima ko. pisteessä ja painovoima yhdistetään resultantiksi, josta saadaan kiihtyvyys j ja lisäksi sen etäisyys pinnasta normaalin suunnassa aiheuttaa jonkin hydrostaattisen paineen, joka pinnalla on sama kuin ilmakehän vastaava.
Lisää tarkastuksia saa olettamalla, että painovoima on nolla. Tällöinhän vesi asettuu tasaisena mattona savin seinälle keskipakovoiman johdosta, jollei se pääse ulos saavista jotenkin. Ja sen pinnan yhtälön pitäisi myös olla varsin helppo (sylinteri).
Jotenkin noin se lähtee ratkeamaan, en ole itse laskenut asiaa.
Muitan joskus laskeneeni virtausopin kurssilla juuri kyseisen laskun. Se on ihan vain hydrostatiikkaa. Kokeillaan saanko sen oikein laskettua.
Valitaan z-akselin positiiviseksi ylöspäin, r on etäisyys (säde) z-akselista ja painovoima vaikuttaa alaspäin (-z suuntaan)
Tilavuuselementin tasapainoyhtälöksi saadaan:
p·dz - (p ∂p/∂r·dr)·dz ρrω²·dzdr = 0
p·dr - (p ∂p/∂z·dz)·dr - ρg·dzdr = 0
->
∂p/∂r = ρrω²
∂p/∂z = -ρg
->
p(r,z) = ρr²ω²/2 A(z) B
p(r,z) = -ρgz C(r) D
->
A(z) = -ρgz
C(r) = ρr²ω²/2
D = B
->
p(r,z) = ρr²ω²/2 - ρgz B
Jos valitaan koordinaatiston origo veden yläpintaan keskelle ja ympäristössä vallitsee paine p∞
p(0,0) = B = p∞
->
p(r,z) = ρr²ω²/2 - ρgz p∞
Veden pinnalla paine on vakio ja tässä tapauksessa siis p∞. Saadaan veden pinnan yhtälöksi:
ρr²ω²/2 - ρgz p∞ = p∞
->
z(r) = r²ω²/2g
Se on selvästi paraabelin yhtälö, jos lasku muuten meni oikein.
löysin vieläkin helpomman tavan käyttämällä googlea aivojen sijaan. Sama tulos on tuollakin.
Aion kuitenkin kokeilla vielä tuon oman hankalamman menetelmän ihan uteliaisuuttani.(tai en tiedä vielä onko se hankala. Riippuu millainen diffisyhtälö siitä tulee)
http://hyl.edu.hel.fi/hyl/fysiikka/newtoninampari/ampari.html
No eihän sieltä mitään vaikeaa syntynytkään. Olisi pitänyt laskea heti loppuun. Yleensä variaatiolaskuissa syntyy jokin posketon differentiaaliyhtälö, mutta nyt pääsee helpolla.
Pari korjausta edellisen viestin lausekkeisiin: U2 on vastakkaismerkkinen ja tiheys roo on unohtunut pois.
Eli lagrangen kertojaa käyttäen pitää etsiä seuraavan funktionaalin ääriarvot.
int(Πρgrh²(r)-Πρω²r³h(r)-λ2Πρrh(r))dr
Eulerin yhtälöksi tulee siis merkitsemällä integraalin sisällä olevaa osuutta f.
d/dx(∂f/∂h'(r))-∂f/∂h(r) = 0
Ensimmäinen termi on nolla, koska h'(r) ei esinny lausekkeessa.
Toisesta termistä saadaan jakamalla Πρ pois
2grh(r)- ω²r³- λ2r = 0
josta h(r) = ω²r²/2g λ/g
voidaan valita lamda nollaksi, kun halutaan h(r):n kulkevan origon kautta.
Eli ei se näköjään vaikea ollut näinkään, vaikka tuo hydrodynamiikan lasku oli hieman helpompi.
Tulipahan löydettyä sitten ainakin kolme eri tapaa laskea tuo lasku ja kerrattua mekaniikkaa.