Kuinka modulo 103 lasketaan

Ohjelmointikielissä eroja negatiivisilla luvuilla esim. C laskee:
-10%3 = -1
eli -10 = -3*3 + -1
Python taasen laskee (kongruenssin tapaan):
-10%3 = 2
eli -10 = -4*3 + 2

Yllättäen myös jakolasku menee eri tavalla:
C: -10/3 = -3
Python: -10/3 = -4

Toisaalta wikipediassa lukee: "Kun x ja y ovat kokonaislukuja ja x > y, ne voidaan esittää yhtälönä x = a * y + r, missä a on luonnollinen luku ja 0 < r < |y|. Lukua a kutsutaan usein jakolaskun x/y osamääräksi ja lukua r jakojäännökseksi."

Siis pitää olla x > y ja -10 < 3, joten jakolaskua -10/3 ei kai sitten ole määritelty. Kongruenssissa kuitenkin määritellään myös tapauksia x < y.
Siis miten tää nyt oikein menee?

*h-moilanen* kirjoitti:

Ohjelmointikielissä eroja negatiivisilla luvuilla esim. C laskee:
-10%3 = -1
eli -10 = -3*3 + -1
Python taasen laskee (kongruenssin tapaan):
-10%3 = 2
eli -10 = -4*3 + 2

Yllättäen myös jakolasku menee eri tavalla:
C: -10/3 = -3
Python: -10/3 = -4

Toisaalta wikipediassa lukee: "Kun x ja y ovat kokonaislukuja ja x > y, ne voidaan esittää yhtälönä x = a * y + r, missä a on luonnollinen luku ja 0 < r < |y|. Lukua a kutsutaan usein jakolaskun x/y osamääräksi ja lukua r jakojäännökseksi."

Siis pitää olla x > y ja -10 < 3, joten jakolaskua -10/3 ei kai sitten ole määritelty. Kongruenssissa kuitenkin määritellään myös tapauksia x < y.
Siis miten tää nyt oikein menee?

Jos kaksi kokonaislukua a ja b ovat samat modulo M, merkitään a = b (mod M), niin a-b = kM jollain kokonaisluvulla k. Niiden erotus on siis M:n monikerta.

Nyt C:ssä -10%3 = -1 ja pythonissa -10%3 = 2, mutta selvästihän -1 = 2 (mod 3), koska -1-2=-3=(-1)*3. Määritelmällisesti jos jaetaan x y:llä, niin saadaan x = by+r, jossa jakojäännökselle pätee 0

njotta. kirjoitti:

Jos kaksi kokonaislukua a ja b ovat samat modulo M, merkitään a = b (mod M), niin a-b = kM jollain kokonaisluvulla k. Niiden erotus on siis M:n monikerta.

Nyt C:ssä -10%3 = -1 ja pythonissa -10%3 = 2, mutta selvästihän -1 = 2 (mod 3), koska -1-2=-3=(-1)*3. Määritelmällisesti jos jaetaan x y:llä, niin saadaan x = by+r, jossa jakojäännökselle pätee 0

Englanninkielinen wiki selittää homman:
http://en.wikipedia.org/wiki/Remainder#The_case_of_general_integers

Ja suomenkielinen väärin:
http://fi.wikipedia.org/wiki/Jakojäännös

*h-moilanen* kirjoitti:

Ohjelmointikielissä eroja negatiivisilla luvuilla esim. C laskee:
-10%3 = -1
eli -10 = -3*3 + -1
Python taasen laskee (kongruenssin tapaan):
-10%3 = 2
eli -10 = -4*3 + 2

Yllättäen myös jakolasku menee eri tavalla:
C: -10/3 = -3
Python: -10/3 = -4

Toisaalta wikipediassa lukee: "Kun x ja y ovat kokonaislukuja ja x > y, ne voidaan esittää yhtälönä x = a * y + r, missä a on luonnollinen luku ja 0 < r < |y|. Lukua a kutsutaan usein jakolaskun x/y osamääräksi ja lukua r jakojäännökseksi."

Siis pitää olla x > y ja -10 < 3, joten jakolaskua -10/3 ei kai sitten ole määritelty. Kongruenssissa kuitenkin määritellään myös tapauksia x < y.
Siis miten tää nyt oikein menee?

Niin, ja toi jakolaskuhan menee molemmilla C:llä ja Pythonilla matemaattisesti väärin, oikein tietysti olisi kokonaisluku/kokonaisluku => rationaaliluku tai kokonaisluku jos menee tasan.
Esim. Lispillä menee oikein:
(/ -10 3) => -10/3 (rationaaliluku)
(/ -6 3) => -2 (kokonaisluku)

Lispissä myös jakojäännökselle ja modulolle omat:
(mod -10 3) => 2
(rem -10 3) => -1

Pitänee olla varovainen näiden kanssa...

*h-moilanen* kirjoitti:

Niin, ja toi jakolaskuhan menee molemmilla C:llä ja Pythonilla matemaattisesti väärin, oikein tietysti olisi kokonaisluku/kokonaisluku => rationaaliluku tai kokonaisluku jos menee tasan.
Esim. Lispillä menee oikein:
(/ -10 3) => -10/3 (rationaaliluku)
(/ -6 3) => -2 (kokonaisluku)

Lispissä myös jakojäännökselle ja modulolle omat:
(mod -10 3) => 2
(rem -10 3) => -1

Pitänee olla varovainen näiden kanssa...

"Pythonilla matemaattisesti väärin, oikein tietysti olisi kokonaisluku/kokonaisluku => rationaaliluku tai kokonaisluku jos menee tasan. "

Jos ollaan tarkkoja, niin rationaaliluku se on kokonaislukukin, mutta tämä ei ole oleellista. Oleellista on ymmärtää miten tietokoneet toimivat. Kun ymmärtää miten luvut tietokoneessa esitetään sisäisesti, niin näiden pienten ihmeellisyyksien tajuaminen helpottuu huomattavasti. Eli C:ssä tuo varsinainen jakolasku suoritetaan ja tulos tallennetaan niin tarkasti kuin se pystytään - se vaan ei satu aina olemaan tarkka tulos vaan "tarkin mahdollinen". Toisaalta lispin antama -10/3 ei sinällään välttämättä kerro kysyjälle paljoa, kyseinen luku pitää yleensä evaluoida desimaaliluvuksi, jolloin laskutoimitus on tietyssä mielessä "laskettu". Kyseessähän on vastaava tilanne, kuin jos laskin antaisi vastauksen sqrt(2) kysymykseen paljonko on neliöjuuri kakkosesta :)

njotta. kirjoitti:

"Pythonilla matemaattisesti väärin, oikein tietysti olisi kokonaisluku/kokonaisluku => rationaaliluku tai kokonaisluku jos menee tasan. "

Jos ollaan tarkkoja, niin rationaaliluku se on kokonaislukukin, mutta tämä ei ole oleellista. Oleellista on ymmärtää miten tietokoneet toimivat. Kun ymmärtää miten luvut tietokoneessa esitetään sisäisesti, niin näiden pienten ihmeellisyyksien tajuaminen helpottuu huomattavasti. Eli C:ssä tuo varsinainen jakolasku suoritetaan ja tulos tallennetaan niin tarkasti kuin se pystytään - se vaan ei satu aina olemaan tarkka tulos vaan "tarkin mahdollinen". Toisaalta lispin antama -10/3 ei sinällään välttämättä kerro kysyjälle paljoa, kyseinen luku pitää yleensä evaluoida desimaaliluvuksi, jolloin laskutoimitus on tietyssä mielessä "laskettu". Kyseessähän on vastaava tilanne, kuin jos laskin antaisi vastauksen sqrt(2) kysymykseen paljonko on neliöjuuri kakkosesta :)

Kyllä Lispissä on ihan "oikea" tyyppi rationaaliluvuille, eikä sitä muuteta liukuluvuiksi keskinäisissä laskuissa.
Itseasiassa siten että rational-tyypin alaluokkina ovat integer ja ratio (=kaksi kokonaislukua).
Ts. se vastaa tuota "rationaaliluku se on kokonaislukukin"-hommaa.
Testataan Lispissä onko 5 kokonaisluku:
(integerp 5) => T
Onko se rationaaliluku:
(rationalp 5) => T
Entäs reaali- tai kompleksiluku?
(realp 5) => T
(complexp 5) => NIL

Lisäksi se näköjään supistaa automaattisesti ratiot:
(rational 4/6) => 2/3
Ja muuttaa tarvittaessa integer-tyypiksi:
(integerp (rational 6/6)) => T

http://www.cs.cmu.edu/Groups/AI/html/cltl/clm/node16.html