Päättelyni uhkaa katketa varmaankin ihan perusjuttuun, mutta joku nyt tökkii. Olen pyöritellyt ito-integraalia ja Borel-Cantelli lemmaa ja vaikka mitä muutakin, mutta ei vaan nyt aukee.... Eli jos joku on perehtynyt asiaan enemmän, niin auttakoon :)
Jos B=Brownin liike parametrina (volatiliteettina) w, niin miksi integraali a->b B dt voi olla Riemannin integraali melkein kaikilla omegan arvoilla? Siis w kuuluu omegaan. Tulos siis on satunnaismuuttuja, mutta miksi ja miten?
Jos B=Brownin liike parametrina (volatiliteettina) w, niin miksi integraali a->b B dt voi olla Riemannin integraali melkein kaikilla omegan arvoilla? Siis w kuuluu omegaan. Tulos siis on satunnaismuuttuja, mutta miksi ja miten?
Vastaukset 1
Vanhimmat
Itse asiassa tuo \int B dt on Riemann-integraali (a.s.), koska Brownin liikkeen polut ovat jatkuvia (a.s.). Ja tämä integraali on stokastinen prosessi, koska B on stokastinen prosessi. Sillä ei sinänsä ole mitään tekemistä Riemann-integroituvuuden kanssa.
Riemann-integroituvuuden ongelma taas tulee siitä, että ei ole olemassa stokastista prosessia, jonka Riemann-integraali olisi B. Tätä varten on olemassa Ito-integraali, jonka avulla voidaan määritellä integraali muotoa
I = \int f(B) dB
joka formaalisti voidaan ajatella integraalina
I = \int [f(B) dB/dt] dt
joka ei Riemann-mielessä ole olemassa, koska prosessia dB/dt ei "ole olemassa" (B ei ole derivoituva a.s.).