# | 0 1 2 3 4 5
-----------------
0 | 0 1 2 3 4 5
1 | 1 2 3 4 5 0
2 | 2 3 4 5 0 1
3 | 3 4 5 0 1 2
4 | 4 5 0 1 2 3
5 | 5 0 1 2 3 4
Ryhmä ( {0,1,2,3,4,5},# ) , # binäärioperaatio, joka toteuttaa yllä olevan "kertotaulun". Miten
saisin jonkin toisen ryhmän (kuusi alkiota), joka ei olisi isomorfinen yllä olevan kanssa?
-----------------
0 | 0 1 2 3 4 5
1 | 1 2 3 4 5 0
2 | 2 3 4 5 0 1
3 | 3 4 5 0 1 2
4 | 4 5 0 1 2 3
5 | 5 0 1 2 3 4
Ryhmä ( {0,1,2,3,4,5},# ) , # binäärioperaatio, joka toteuttaa yllä olevan "kertotaulun". Miten
saisin jonkin toisen ryhmän (kuusi alkiota), joka ei olisi isomorfinen yllä olevan kanssa?
Vastaukset 7
Vanhimmat
... eri alkioiden asteluku, eli pienin 'potenssi' mihin ne pitää korottaa saadaksesi identiteetin, joka on tässä tapauksessa '0'.
Esim. 1^6 = 1#1#1#1#1#1 = 0.
Alkio 1 generoi ryhmän: kaikki alkiot voidaan muodostaa yhdistämällä ykkösiä #-operaatiolla.
Yritä muodostaa ryhmä, jossa on kaksi generaattorialkiota a ja b, niin että molempia tarvitaan muodostamaan ryhmä.
Huomaa, että jokaisen asteluvun on jaettava ryhmän koko... Miksi? Voit päätellä, että kahdella generaattorialkioilla saattaisi olla asteluvut 2 ja 3.
... määritelmästä:
Huomaa, että ryhmäsi joukko on muotoa = {1^k : 0
Sinun laskutoimituksesi # on itse asiassa yhteenlaskun jakojäännösaritmetiikkaa modulo 6.
Muodosta keretolaskun jakojäännösaritmetiikka modulo 7, mutta jätä 0 pois. Tällöin sinulle muodostuu ryhmä luvuista {1,2,3,4,5,6}, josta saat merkitöjä (vähentämällä 1) muuttamalla isomorfisen ryhmän {0,1,2,3,4,5}, mutta tämä ei ole isomorfinen alkuperäisen ryhmäsi kanssa.
Eli * modulo 7
* 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 1 3 5
3 3 6 2 5 1 4
4 4 1 5 2 6 3
5 5 3 1 6 4 2
6 6 5 4 3 2 1
Nyt vain korvaat 1->0, 2->1,...,6->5
Minusta (multiplikatiivinen ryhmä mod 7) = C_6.
Antamasi ryhmän generoi alkio 3.
Saamme isomorfisimin lähettämällä sen additiivisen ryhmän generaattoriin, eli alkioon 1.
Elikä:
3 ---> 1
3^2 ----> 2
3^3 ----> 3
...
3^6 ----> 0
Noista kertotauluista on helpohko katsoa, että ryhmällä on identiteetti, inverssit ja tietysti, että operaatio on suljettu. Mutta kuinka tuon assosiatiivisuuden saisi käytyä läpi jotenkin fiksusti?
Siis oletetaan tilanne, että on annettu vain tuo kertotaulu ja tuo joukko!
Alkuperäiseen.. onko olemassa jotain tuloksia joihin voisin vedota suoraan, ettei tarvisi konstruoida tuota toista ryhmää! Siis kysymys olisi onko olemassa toista 6-alkion ryhmää, joka ei ole isomorfinen tuon antamani ryhmän kanssa!
Jos keskenään isomorfiset ryhmät samaistetaan, niin on olemassa vain 2 kappaletta kertalukua 6 olevaa ryhmää, tuo syklinen ryhmä ja sitten S_3 eli kolmen pisteen symmetriaryhmä, joka tunnetaan myös kertalukua 6 olevana dihedraalisena ryhmänä tai Kleinin 4-ryhmän automorfismien ryhmänä. Sylowin lauseiden avulla voidaan helposti todistaa, että kertalukua 2 olevia ryhmiä on todellakin vain kaksi kappaletta.
Vinkkinä voisi sanoa, että ryhmien konstruointi kertolaskutaulujen avulla on se viimeinen vaihtoehto, juuri tuon assosiatiivisuuden takia. Yleensä ryhmien konstruoinnissa käytetään hyväksi sitä, että funktioiden yhdistäminen on assosiatiivinen operaatio. Yleisimmin tämä onnistuu ottamalla joku joukko X (jolla on mahdollisesti rakenne) ja tarkastelemalla joukon X automorfismien ryhmää tämän rakenteen mukaan. Esimerkkinä käyköön vaikka tuo S_3 joka voidaan realisoida joko kolmen pisteen permutaatioiden ryhmänä (jolloin joukolla ei ole rakennetta lainkaan) tai Kleinin 4-ryhmän automorfismien joukkona (jolloin joukolla on ryhmän rakenne).
... tottakai on. Mutta sun pitää nähdä vähän vaivaa tiedonhaussa, jos haluat oikotien onneen. Wikipedia ja Google auttanevat.