Eli seuraavanlainen tehtävä pitäisi ratkaista:
Joukon A = {x € R³ : x² 2y² 3z² R² voidaan jokaiseen pisteeseen y € A liittää luvut r > 0 ja c > 0, joille
||f(x)|| 0 siten ,että
||f(x)||
Joukon A = {x € R³ : x² 2y² 3z² R² voidaan jokaiseen pisteeseen y € A liittää luvut r > 0 ja c > 0, joille
||f(x)|| 0 siten ,että
||f(x)||
Vastaukset 11
Vanhimmat
x € A. Koska A on selvästi kompakti, niin on olemassa R > 0 siten, että A C B(y;R) ,
kun on valittu y € A mielivaltaisesti.
Tällöin B(y;R) n A = A.
Oletuksen mukaan voidaan löytää luku C > 0 siten, että
||f(x)||
Eikös oletuksena ollut, että voidaan löytää luvut c>0 ja R>0, jolle tuo ||f(x)|| 0 kohti löytyy C>0.
Sinä olet vain valinnut riittävän suuren R:n jotta koko A kuuluu avoimeen kiekkoon olipa keskipiste mikä tahansa A:n piste. Tuollainen R voidaan valita koska A kompakti. Tietysti leikkaus on =A. Mutta nyt loppuosa menee pieleen, koska C:tä ei löydetty millä tahansa R:llä vaan on löydettävissä pari (C,R), jolle väite pitää paikkansa, eli R luultavammin on varsin pieni monessa pisteessä, eikä A kuuluu yhteenkään kiekkoon.
Riittää, että löydetään luku C > 0, siten että ||f(x)||
Valitaan max, mistä tiedät, että f(A):n alkioiden normille on maksimi?, vaikka A on kompakti, niin f(A) ei tarvi olla, missään ei sanota että f olisi jatkuva (tai muuten mukava), jolloin tietysti f(A) olisi kompakti ja samoin normi, jolloin max voitaisiin valita.
supremum voidaan valita, mutta ei välttämättä reaalilukujen joukosta.
En osaa tähän hätään sanoa, kuinka tulisi todistaa. Kompaktisuutta tulisi käyttää muutoinkin kuin rajoitettu ja suljettu. Jonkilainen kompaktisuuteen liittyvä jono A:n alkioista, joiden ympärille muodostetut kiekot täyttävät A:n lienee tässä toimivin todistus. Toimiva todistus ei tule olemaan ihan parin rivin mittainen.
tekemällä vastaoletus, että on olemassa x€A s.e.
||f(x)|| > C kaikilla C > 0. Tästä seuraa, että A ei ole kompakti, mikä on ristiriita.
sanoithan jo ettei f(A):n tarvitse olla mukava.
Ei tarvitse tehdä oletusta että on olemassa x jonka kuva on kaikkia suurempi, riittää että jokaista c:tä kohtaan löytyy yksinkin x, jolla kuvan normi ||f(x)|| > C.
Ei siis tarvitse olla jotain tiettyä x, jolla kaikilla C>0 pätee ||f(x)|| > C.
f ei sanottu olevan jatkuvan, riittää että on vaikka yksittäisten pisteiden jono x1,x2,x3,..., joiden kuville pätee vaikka ||f(xi)||=i.
Tällöin voidaan löytää ehkäpä ympäristöt Ri xi:lle, jossa vaikkapa ||f(x)||
väitteen
"on olemassa C > 0 s.e.||f(x)|| 0 on olemassa x € A s.e. ||f(x)|| > C"
Hieno tuo vastaesimerkki muuten, aika tarkkana saavat olla ennen kuin antavat sulle tehtäviä (tai ylipäätään sanoo mitään)
Eli jos väitetään että C > 0 on sopiva luku, niin valitaan jonosta (x_n) jäsen x_n* € A missä
n* > C, jolloin
||f(x_n*)|| > C, jolloin se ei kelpaakaan, koska f oli muotoiltu sopivasti.
"Joukon A = {x € R³ : x² 2y² 3z²
n on käyetty leikkauksen merkkinä, kun se vähän on sen näköinen.
x on R^3 vektori x=(x y z), eli A on ellipsoidi pintoineen ja sisälmyksineen. x on siis käyetty kahdessa eri tarkoituksessa olisi ehkä ollut hyvä käyttää iso X vektorin merkkinä.
Itse kysymys ei välttämättä ollut parhaalla suomen kielellä esitetty, joten siinä saattaa olla ehkä jotain..
Tehtävän voi ratkaista ainakin kahdella tavalla
käyttämällä joko "jonokompaktiuden" tai
"peitekompaktiuden" määritelmää (joka on
kompaktiuden yleinen määritelmä topologisissa
avaruuksissa). Nämä kaksi määritelmää ovat
tietenkin yhtäpitäviä metrisissä avaruuksissa
kuten tässä tehtävässä.
1.tapa:
Tehdään vastaoletus: Jokaisella vakiolla
C > 0 on olemassa piste x € A, jolle ||f(x)|| > C.
Voidaan siis muodostaa jono (x_i) joukon A
pisteitä niin, että
||f(x_i)|| > i kaikilla i € N.
Koska A on kompakti, niin tällä jonolla on A:ssa
suppeneva osajono. Merkitään osajonoa myös (x_i)
(tämä merkintöjen helpottamiseksi).
Siis x_i -> x_0 jollakin x_0 € A.
Nyt tehtävän oletuksen nojalla pisteellä x_0 on
olemassa kuulaympäristö B(x_0;r), jolle
||f(x)|| c
(ja niin suureksi, että x_i € B(x_0;r) n A),
jolloin ||f(x)|| > i > c.
Siispä f on rajoitettu.
2.tapa:
Valitaan jokaiselle x € A ympäristö B(x;r), jolle
f(B(x;r) n A) on rajoitettu tehtävän oletuksen
nojalla. Näistä ympäristöistä saadaan joukolle A
avoin peite, jolla on kompaktiuden määritelmän
perusteella äärellinen osapeite. Nyt f on siis
(edelleen) rajoitettu jokaisessa osapeitteen
jäsenessä. Valitsemalla maksimi niistä vakioista
(joita on äärellinen määrä), jotka rajoittavat f:n
normia näissä peitejoukoissa, saadaan f
rajoitetuksi koko A:ssa.
P.S. Korjatkaa toki, jos löydätte virheitä näistä
"todistuksista".