elikkäs ois tämmönen yhtälö
|3x-2|
|3x-2|
itseisarvo
epäyhtälö
101157
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 10
Vanhimmat
Tuossahan voit korottaa yhtälön kumpikin puoli toiseen potenssiin. (jos teillä vain on kerrottu jossakin, että näin saa tehdä. Se on osoitettavissa)
tuon voi laskee käyttämällä hyväks tietoa
|f(x)|=|g(x)|
f(x)=g(x) tai f(x)=-g(x)
... sillä tämä on epäyhtälö, ei yhtälö.
Tässä on juuri se vaara, jota aina toitotan 'muistisäännöistä', joita sovelletaan ymmärtämättä miksi ne toimivat. Jos ymmärtäisit miksi
|f(x)|=|g(x)| ==> f(x)=g(x) tai f(x)=-g(x)
toimii, et tietenkään yrittäisi soveltaa sitä epäyhtälöihin.
Miksi se toimii? No, tässä on se tärkeämpi muistisääntö:
"Kaikki riippuu siitä, ovatko itseisarvon sisällä olevat arvot negatiivisia tai ei"
f(x) -f(x) = g(x)
f(x)>= 0, g(x) f(x) = -g(x)
f(x)>=0, g(x)>=0 ==> f(x) = g(x)
Mutta nämä supistuvat kahteen eri tapaukseen:
a) f ja g ovat samanmerkkisiä
b) f ja g ovat eri merkkisiä
Sen sijaan epäyhtälössä supistuminen onnistuu vain kolmeen tapaukseen.
nkorppi jo tuossa asiaa selvittikin, mutta ei kai lisä ole pahasta.
Epäyhtälön säilyminen toiseen korotettaessa on eri asia kuin tavallisen yhtälön toiseen korottaminen.
Kuitenkin pätee tuo, että:
Jos f(x) < g(x), ja molemmat puolet positiivisia, niin [f(x)]² < [g(x)]².
Tätä voit havainnollistaa itsellesi vaikkapa tutkimalla funktiota x² positiivisella puolella. Jos x1 < x2, niin x1² < x2².
... joko
a) Korottaa toiseen potenssiin (voit tehdä niin, sillä x |---> x^2 on monotonisesti kasvava funktio ei-negatiivisilla arvoilla).
Saat (3x-2)^2 < (x-1)^2
b) Tässä ehkä järkevämpi tapa: Muista, että itseisarvoyhtälöissä voidaan aina jakaa tapauksiin riippuen siitä, onko itseisarvojen sisällä olevat arvot negatiivisia vai ei.
Nyt kriittiset arvot ovat 2/3 ja 1. Niissä kohdissa itseisarvojen sisältö vaihtaa merkkiä.
Riittää siis, että tarkastelet seuraavat tapaukset
x < 2/3 ===> -(3x-2) < -(x-1)
2/3 3x-2 < -(x-1)
x >= 1 ===> 3x-2 < (x-1)
Eli tapauksia on KOLME, ei kaksi.
JOs tahdot käyttää itseisarvon määritelmää niin
Yhtälö muunnetaan tavallisiksi epäyhtälöiksi seuraavasti
|3x-2|=3x-2, kun x>=2/3
2-3x, kun x=1
|x-1|=1-x, kun x
korottamiseen tapaahan vois sitte käyttää tavallisiinkin epäyhtälöihin
esim 7
No mikäpä ettei. Tuo vaan helposti kääntyy silloin toisen asteen yhtälön ratkaisuksi kahden ensimmäisen asteen yhtälön sijaan. Makuasia, kumpaa pitää mukavampana tapana. Minä pitäisin tässä tapauksessa ensimmäisen asteen epäyhtälöitä mukavampina.
... sillä et hyödy siitä lainkaan -- päinvastoin, joudut hylkäämään ratkaisuista ne, jotka eivät sovellu alkuperäiseen (epä)yhtälöön.
Esim. jos sinulla on epäyhtälö
3x 1 < |x 1|
Menetät tietoa vasemmalla puolella, kun korotat toiseen potenssiin. Korotettuna olet nimittäin ottanut mukaan mahdollisuuden, että alkuperäinen vasen puolisko on -3x-1. Tämä voi johtaa siihen, että osa ratkaisuista on lopussa hylättävä.