Tehtävä: Määritä yhtälön a^b=b^a rationaalilukuratkaisut.
Olen miettinyt, että on oltava joko a=b, {a,b}={2,4} tai a=(1 1/k)^k, b=(1 1/k)^{k 1}, k kokonaisluku, mutta miten todistaa, ettei muita ratkaisuja ole?
Epäilen, että seuraavan lemman avulla voidaan väite todistaa, mutta en tiedä miten lemma todistetaan tai miten lemmasta seuraa kaikkien ratkaisujen löytyminen:
Olkoon a,b,c,d in Z_ ja a^c=b^d. Tällöin on olemassa e in Z, jolle a ja b ovat e:n potensseja.
Olen miettinyt, että on oltava joko a=b, {a,b}={2,4} tai a=(1 1/k)^k, b=(1 1/k)^{k 1}, k kokonaisluku, mutta miten todistaa, ettei muita ratkaisuja ole?
Epäilen, että seuraavan lemman avulla voidaan väite todistaa, mutta en tiedä miten lemma todistetaan tai miten lemmasta seuraa kaikkien ratkaisujen löytyminen:
Olkoon a,b,c,d in Z_ ja a^c=b^d. Tällöin on olemassa e in Z, jolle a ja b ovat e:n potensseja.
Vastaukset 2
Vanhimmat
... funktion log(x) - (b x)/b nollakohdat ja valitse rationaaliset niistä.
Mieti lukujen a^c, b^d, a ja b ainutlaatuista jakoa alkutekijöihin päätelläksesi onko väite tosi.