Olin geometrian tentissä (yliopisto, aineopintotason kurssi) ja tentistä jäi vaivaamaan tällainen kysymys:
Keksi malli, jossa (Hilbertin) aksioomat (H1), (H3) ja (H4) toteutuvat, mutta (H2) ei päde, tai osoita, että tällaista mallia ei ole olemassa. Mitä ratkaisusi sanoo aksioomien (H1)-(H4) riippumattomuudesta / ristiriidattomuudesta?
(H1): Jos P ja Q ovat eri pisteitä, niin on olemassa täsmälleen yksi suora, joka kulke sekä P:n ja Q:n kautta.
(H2): Jokaiseen suoraan sisältyy ainakin kaksi eri pistettä.
(H3): On olemassa kolme eri pistettä siten, että mikään suora ei kulje niiden kaikkien kautta.
(H4): Jos A*B*C, niin A,B ja C ovat eri pisteitä, jotka ovat kaikki samalla suoralla, ja lisäksi C*B*A.
Itse arvelin, että tällaista mallia ei ole olemassa, koska aksiooma (H3):n mukaan on olemassa ainakin kolme pistettä, mistä (H1):n nojalla seuraa, että on olemassa kaksi suoraa. Toisin sanoen, jos (H2) ei päde, niin malli on ristiriidassa itsensä kanssa.
Olenko yhtään oikeilla jäljillä?
Keksi malli, jossa (Hilbertin) aksioomat (H1), (H3) ja (H4) toteutuvat, mutta (H2) ei päde, tai osoita, että tällaista mallia ei ole olemassa. Mitä ratkaisusi sanoo aksioomien (H1)-(H4) riippumattomuudesta / ristiriidattomuudesta?
(H1): Jos P ja Q ovat eri pisteitä, niin on olemassa täsmälleen yksi suora, joka kulke sekä P:n ja Q:n kautta.
(H2): Jokaiseen suoraan sisältyy ainakin kaksi eri pistettä.
(H3): On olemassa kolme eri pistettä siten, että mikään suora ei kulje niiden kaikkien kautta.
(H4): Jos A*B*C, niin A,B ja C ovat eri pisteitä, jotka ovat kaikki samalla suoralla, ja lisäksi C*B*A.
Itse arvelin, että tällaista mallia ei ole olemassa, koska aksiooma (H3):n mukaan on olemassa ainakin kolme pistettä, mistä (H1):n nojalla seuraa, että on olemassa kaksi suoraa. Toisin sanoen, jos (H2) ei päde, niin malli on ristiriidassa itsensä kanssa.
Olenko yhtään oikeilla jäljillä?
Vastaukset 2
Vanhimmat
asiaa yhtään niin aikani kuluksi vastaan. Lähdet siis siitä että h2 seuraisi noista muista - epätodennäköistä. Stadilaisjärjellä lähtisin siitä, että jos h2 ei päde niin on olemassa yhden pisteen "suora". Vaikka origo tulkitaan tavallisten suorien lisäksi suoraksi. Se ei ole mitenkään ristiriidassa h1:n tai h3:n kaa. (Siis se että on ylipäätään 3 pistettä niin on avaruuden ominaisuus eikä suoran.) h4:stä en tajuu mitään mutkun ne on eri pisteitä niin ei toi yhden origon mukaanottaminen haitanne mitään - ei ne sillä suoralla ainakaan ole. Et tällasta mä vedin hatusta, ymmärtämättä koko jutusta yhtään mitään.
Miten menisi jos otat mallin, jossa aksioomat H1-H4 pätevät. Siten lisäät suorien joukkoon uuden suoran, joka ei sisällä yhtään pistettä.