Miten tällainenkin tehtävä voidaan oikein laskea?
Arvioi kuinka monella 2000 nelilapsisesta perheestä on
A) ainakin yksi poika
b) kaksi poikaa
c) yksi tai kaksi tyttöä
d) ei yhtään tyttöä
Kiitoskia avusta!
Arvioi kuinka monella 2000 nelilapsisesta perheestä on
A) ainakin yksi poika
b) kaksi poikaa
c) yksi tai kaksi tyttöä
d) ei yhtään tyttöä
Kiitoskia avusta!
Vastaukset 18
Vanhimmat
Tässä hieman vihjeitä. Kysy lisää, jos ei näillä aukene.
* Osaatko laskea todennäköisyydet kohtien a-d tapahtumiselle _yhdessä_ nelilapsisessa perheessä?
* _Odotusarvo_ on käsite, joka kertoo todennäköisen lukumäärän perheille, joissa joku tapahtumista a-d toteutuu.
Jos et löydä kaavoja tai et ymmärrä niitä, niin kirjoita parerille kaikki yhden nelilapsisen perheen kakrujen sukupuolen jakaumamahdollisuudet, siis
PPPP
PPPT
PPTT
PTTT
TTTT
Tuosta pitäisi jo osata laskea todennäköisyydet kysymyksen alakohdille yhden perheen osalta, esim. d-kohdaaan tulee 1/5. Kerrot sitten jokaisen kohdan tn:n 2000:lla, niin saat kysytyt arviot.
Toivottavasti tämä auttaa myös ymmärtämään ne kaavat!
Nelilapsisen perheen erilaiset
"tulosmahdollisuudet":
P P P P P P P P T T T T T T T T
P P P P T T T T P P P P T T T T
P P T T P P T T P P T T P P T T
P T P T P T P T P T P T P T P T
Eli ketjun aloittajan kysymät
tapaukset yhden perheen osalta:
a) ainakin yksi poika
b) kaksi poikaa
c) yksi tai kaksi tyttöä
d) ei yhtään tyttöä
a) 4P = 1 kpl, 3P = 4 kpl,
2P = 6 kpl, 1P = 4 kpl
todennäköisyys on:
(1 + 4 + 6 + 4) / 15 = 15 / 16
b) todennäköisyys 6 / 16
c) 1T = 4 kpl, 2T = 6 kpl,
todennäköisyys on:
(4 + 6) / 16 = 10 / 16
d) 1 / 16
2000 perheen erilaiset "lapsimäärä-
todennäköisyydet" saataneen melko
helposti laskettua edellämainituista
luvuista.
Esim. "ei yhtään tyttöä" perheitä on
noin (1 / 16) * 2000 = 1 / 125 ja
prosenteissa 6.25%.
Mistä kummasta nuo tulosmahdollisuudet on temmattu? Eihän neljästä alkiosta (lasten yhteinen lkm) saa puristettua suurempia kuin neljän alkion kombinaatiota (= tulosmahdollisuus).
Lienetkö ajatellut jotain syntymäjärjestyksiä (niitä ei tarvinnut ottaa huomioon!) tms., mutta silloinkin tuo on täysin väärin. Sinun perheessäsi on 16 lasta, ja silloinkin tulosmahdollisuuksista on luetteloitu vain osa.
No nyt välähti, että olit merkinnyt kombinaatioita pystyriveille, minä vaakariveille. Siitä huolimatta olet väärässä, sillä tehtävänannossa ei ollut puhetta syntymäjärjestyksestä tms., vaan sukupuolijakauman lopputulemasta. Tuo järjestyksen huomioonottaminen kyllä kävi minullakin mielessä, mutta sitä ei tässä tarvita (eikä sallita tehtävän mukaan).
On tietysti turha väitellä itseään pätevämpien kanssa,
mutta enhän vielä anna periksi.
Syntymäjärjestyksestä riippumatta pelkkiä poikia
sisältäviä perheitä on (1 / 2) ^ 4 = 1 / 16, sama määrä
on myös pelkkiä tyttöjä sisältäviä perheitä.
Edelleen, voidaan ottaa mikä tahansa edellisen viestini
pystyrivi esim PPPT, senkin todennäköisyys on 1 / 16.
Sanoisin näin: Jokaista syntymäjärjestystä ilmenee
1 / 16 kaikista tapauksista, jonka jälkeen tarvitaan
ynnälaskua erilaisten kombinaatioiden ynnäämiseen.
Voidaan toki tarkastaa olenko oikeassa vai väärässä
kun otetaan neljä lanttia, joita kilistetään ja
heitetään ilmaan 2000 kertaa. Pistetään kruunujen
ja klaavojen määrät taulukkoon, ja lasketaan kuinka
paljon on kutakin alkuperäisen kysyjän a - d tapauksia.
Ps. Edellisessä viestissäni oli toki yksi kirjoitus-
virhe, yhdessä kohdassa 15 olisi pitänyt olla 16.
Jos jätetään huomiotta lasten syntymäjärjestys, saadaan tulosvaihtoehdot
4 poikaa,
3 poikaa ja tyttö,
2 poikaa ja tyttöä,
1 poika ja 3 tyttöä,
4 tyttöä.
Nämä tapahtumat eivät kuitenkaan ole yhtä todennäköisiä: esimerkiksi "3 poikaa ja tyttö" voi toteutua neljällä eri tavalla riippuen siitä, monentenako se tyttö syntyi. Ts. "3 poikaa ja tyttö" on todennäköisempi tapahtuma kuin esimerkiksi "4 poikaa".
Siksi lasten syntymäjärjestyksellä on merkitystä tapahtumien todennäköisyyttä laskettaessa.
menee vaikeaksi. Kyllä tässä binomijakaumaa käytetään kahteen otteeseen, ensin yhden perheen tapauksessa (p=0.5,n=4),
sitten 2000:n perheen (p=p_i, n=2000), p_i:t lasketaan kohdista a)-d). Lopuksi lasketaan binomijakauman odotusarvo np_i
Tehtävän mukaan ne lapset _ovat jo syntyneet_ , ja tarkasteltavana on vain nuo viisi tulosvaihtoehtoa, niiden syntyhistoriasta (esim. monellako tavalla eri olemassaolevat tulosvaihtoehdot ovat voineet toteutua) riippumatta.
[Tässähän ei ennusteta, vaan tarkastellaan tilannetta ex post facto (ja olettaen, että tyttö/poika-tn on 1/2)]
"[Tässähän ei ennusteta, vaan tarkastellaan tilannetta ex post facto (ja olettaen, että tyttö/poika-tn on 1/2)]"
Jaahas. Ilmeisesti seuraava päättelykin on sitten mielestäsi pätevä.
Tehtävä: Tarkastellaan 2000 kahden hengen pariskuntaa, joista kumpikin lottoaa viikottain. Kuinka monella pariskunnalla oli todennäköisesti ainakin yksi loton päävoitto viime viikolla?
Ratkaisu: Yhdellä pariskunnalla on seuraavat kolme mahdollisuutta:
ei päävoittoa,
toisella päävoitto ja toisella ei,
molemmilla päävoitto.
Näistä 2/3 on sellaisia, joissa on saatu ainakin yksi päävoitto. Siis todennäköisesti viime viikolla ainakin yhden päävoiton saaneita pariskuntia on 2/3 * 2000 = 4000/3 eli noin 1333.
Aika monta loton päävoittoa noinkin pieneen otokseen, eikö?
Ei tuo ole vertailukelpoinen (mietipä, miksi!). Tuo toinen inttäjä on alkup. tehtävässä oikessa.
Eiväthän nuo kolme vaihtoehtoa ole symmetriset!
Sitä paitsi: ei lottovoittoa koskevissa todennäköisyyksissäkään oteta huomioon, missä järjestyksessä pallot arvonnassa tulevat. Vai lasketko lottovoiton tn:n käymällä läpi kaikki mahdolliset lottonumeroiden putoamisjärjestykset ;-)?
"Eiväthän nuo kolme vaihtoehtoa ole symmetriset!"
Niinpä niin. Eivätkä myöskään ole symmetriset alkuperäiseen probleemaan liittyvät tapahtumat
4 poikaa,
3 poikaa ja tyttö,
2 poikaa ja tyttöä,
poika ja 3 tyttöä,
4 tyttöä.
"Sitä paitsi: ei lottovoittoa koskevissa todennäköisyyksissäkään oteta huomioon, missä järjestyksessä pallot arvonnassa tulevat."
Jokainen lottorivi on yhtä todennäköinen, joten pallojen tippumisjärjestystä ei tarvitse ottaa huomioon. Jokainen lasten sukupuolijakauman vaihtoehto ei ole yhtä todennäköinen, joten lasten syntymäjärjestys on otettava huomioon. On kyse aivan erityyppisistä asioista.
Voithan ajatella näinkin: Riippumatta siitä, lasketko lottotodennäköisyyksiä pallojen putoamisjärjestykset huomioiden tai niitä huomioimatta, saat samat todennäköisyydet. Alkuperäisessä probleemassa taas saat eri todennäköisyydet riippuen siitä, otatko huomioon lasten syntymäjärjestykset vai etkö. Jälkimmäisessä tehtävässä siis vain toinen tapa voi olla oikea.
Ilmaisin huolimattomasti, sorry! Symmetriasta puhuessani oli takaraivossa P:n ja T:n syntymisen tn:ien symmetria. Lottovoitossahan puolisot toimivat esimerkissäsi toisistaan riipumatta(?), ja esim. yhden rivin tn on < 1/15 000 000 jokaiselle yhden rivin veikanneelle.
Lasten sukupuoli taas määraytyy satunnaisella toimintayksikön yhteispelillä, ja tuleman tn tiedetään puolikkaaksi (ideaalisesti, ei ihan käytännössä).
Itsekin ensin laskin homman vähän vaistomaisesti järjestyksien kanssa ja puudiagrammallakin kertomalla ja ynnäämällä haarojen tn:iä. Sitten sain "kerettiläisen herätyksen". Joutunenko matemaattiseen kirkonkiroon?
Kuvitellaanpa lapsilotto. Kone [tanskaksi ja norjaksi vaimo :-)] arpoo satunnaisesti neljä kertaa peräkkäin kahta pallukkaa (T ja P), joiden tulemisen tn on 1/2. Tai vaikka neljä kone(tt)a yhtä aikaa kerran, maailmankatsomuksesta riippuen.
Mitkä ovat tulosmahdollisuudet?
Tietenkin valitsin tarkoituksella mahdollisimman räikeästi epäsymmetrisen tilanteen eli loton, jotta huomaisit ratkaisuehdotuksesi ongelman. Ei epäsymmetrisyys vaikuta ratkaisuehdotuksesi toimivuuteen tai toimimattomuuteen. Sitä paitsi ethän edes missään kohdassa käyttänyt yksittäisen alkeistapauksen (pojan tai tytön, tai lottovoiton saamisen) todennäköisyyttä!
Olet oleellisesti sanonut, että tn neljälle tytölle nelilapsisessa perheessä on 1/5. Tilanteen mielettömyys paljastuu vasta, kun mietit tilannetta, jossa alkeistapaukset eivät ole symmetrisiä. Ajattele vaikka, että jostain geneettisestä syystä tytön saamisen tn onkin 0,50000001. Miksi nyt neljän tytön saamisen tn on lähellä lukua 1/16 eli tosi kaukana luvusta 1/5?
"Kuvitellaanpa lapsilotto. Kone -- arpoo satunnaisesti neljä kertaa peräkkäin kahta pallukkaa (T ja P), joiden tulemisen tn on 1/2. -- Mitkä ovat tulosmahdollisuudet?"
Tulosmahdollisuudet ovat tietenkin
neljä T:tä,
kolme T:tä ja P,
kaksi molempia,
T ja kolme P:tä,
neljä P:tä.
Ei kai tästä asiasta mitään erimielisyyksiä koskaan ollutkaan?
Jos kombinationisti pään pois perseestä, huomaisit että olet puhunut puuta heinää niin että suu sauhuaa. Matematiikka ei ole mitään pseudofilosofiaa, vaan eksakti muodollinen tiede, jossa joko on oikeassa tai väärässä.
Oletamme nimenomaan lapsilottosi ehdot. Tiedät itsekin, että mahdollisuus neljään poikaan on paljon pienempi kuin kahden tytön ja kahden pojan esiintulo. Tämä on katkeruudella huomattu sellaisissa maissa, joiss tyttölapsia tapetaan vuosittain tuhansia.
Syntymisprosessia tässä nimenomaan mallinnetaan. Synnyttäminen ei toimi niin, että joku heittäisi noppaa eri poikamäärien välillä. Kombinaatiot eivät kertakaikkiaan ole samanarvoisia. Synnyttämisessä järjestykset, eli permutaatiot ovat niitä 1/16 todennäköisyyden alkeistapauksia, joiden määriä lasketaan.
Esimerkki: Lotossa ei ole yhtä todennäköistä saada 7 oikein, 6 oikein, 5 oikein ja 4 oikein jne. Todennäköisintä on saada 1 oikein.
Yhtälailla ei ole yhtä todennäköistä saada 4 poikaa, 3 poikaa, 2 poikaa tai yksi poika.
Hae tietoa binomijakaumasta.
kun kyseessä on "toistokoe", jolla on vain kaksi eri lopputulosta (tässä tyttö tai poika), käytetään binomijakaumaa.
Voit ajatella lapsen sukupuolen määräytyvän synnyttämishetkellä, jolloin kyseessä on aito toistokoe.
Hei!
Jos 10 tunnin eli 600 minuutin aikana tapahtuu kaksi täysin toisistaan riippumatonta 6 minuuttia kestävää tapahtumaa, niin mikä on todennäköisyys, että tapahtuvat menisivät vaikka puoliksi eli kolmen minuutin ajaksi päällekkäin? Sehän taitaisi olla aika olematon mahdollisuus, että ne tapahtuisivat koko 6 minuutin ajan täysin samaan aikaan.
Kiitollisena jo edeltäkäsin tiedosta: Jesse