Toisin sanoen x ja y antavat saman jakojäännöksen R:llä jaettaessa.
Esim. 8 = 3 mod 5.
Relaatio ~ joukolla S on jokin joukon S^2 osajoukko. Kirjoitamme x ~ y merkintänä sille, että (x,y) kuuluu joukkoon ~ .
~ on ekvivalenssirelaatio jos:
1) x ~ x jokaiselle x in S 2) x ~ y ===> y ~ x 3) x ~ y ja y ~ z ===> x ~ z
0Äänestä
mat. opiskelija
Tuossahan sanottiin, että R on ekvivalenssirelaatio, ei kokonaisluku.
Määritelmä: Laskutoimitus * ja ekvivalenssi R joukossa E ovat yhteensopivat, jos kaikilla E:n alkioilla x_1, x_2, y_1 ja y_2 ehdoista x_1=x_2 (mod R) ja y_1=y_2 (mod R) seuraa x_1*y_1=x_2*y_2 (mod R).
0Äänestä
nkorppi
mat. opiskelija kirjoitti:
Tuossahan sanottiin, että R on ekvivalenssirelaatio, ei kokonaisluku.
Määritelmä: Laskutoimitus * ja ekvivalenssi R joukossa E ovat yhteensopivat, jos kaikilla E:n alkioilla x_1, x_2, y_1 ja y_2 ehdoista x_1=x_2 (mod R) ja y_1=y_2 (mod R) seuraa x_1*y_1=x_2*y_2 (mod R).
En ole kyllä tiedä, mitä x = y mod R voisi tarkoittaa, jos R ei olisi kokonaisluku, mutta kaikki varmaan tietävät mitä kysyjä tarkoitti.
Joko R on kokonaisluku tai relaatio, ei molempia.
Merkintä (mod R) ei tarkoita mitään, ellei R ole kokonaisluku, ainakaan millään täysjärkisellä määritelmällä.
Määritelmäsi on ruma kuin perse.
0Äänestä
nkorppi
mat. opiskelija kirjoitti:
Tuossahan sanottiin, että R on ekvivalenssirelaatio, ei kokonaisluku.
Määritelmä: Laskutoimitus * ja ekvivalenssi R joukossa E ovat yhteensopivat, jos kaikilla E:n alkioilla x_1, x_2, y_1 ja y_2 ehdoista x_1=x_2 (mod R) ja y_1=y_2 (mod R) seuraa x_1*y_1=x_2*y_2 (mod R).
... edes keskustellut siitä, kunnioittaako binäärioperaatio jotain relaatiota.
0Äänestä
mat. opiskelija
nkorppi kirjoitti:
En ole kyllä tiedä, mitä x = y mod R voisi tarkoittaa, jos R ei olisi kokonaisluku, mutta kaikki varmaan tietävät mitä kysyjä tarkoitti.
Joko R on kokonaisluku tai relaatio, ei molempia.
Merkintä (mod R) ei tarkoita mitään, ellei R ole kokonaisluku, ainakaan millään täysjärkisellä määritelmällä.
Määritelmäsi on ruma kuin perse.
Ei tuossa laskutoimituksista puhuttukaan.
"En ole kyllä tiedä, mitä x = y mod R voisi tarkoittaa, jos R ei olisi kokonaisluku, mutta kaikki varmaan tietävät mitä kysyjä tarkoitti. "
Matematiikka on täsmällistä ja tuollaisia oletuksia ei pidä koskaan tehdä.
"Merkintä (mod R) ei tarkoita mitään, ellei R ole kokonaisluku, ainakaan millään täysjärkisellä määritelmällä. "
Onpas. Jos R on relaatio, on x=y (mod R) järkevä merkintä sille, että x ja y ovat relaatiossa keskenään.
0Äänestä
nkorppi
mat. opiskelija kirjoitti:
Ei tuossa laskutoimituksista puhuttukaan.
"En ole kyllä tiedä, mitä x = y mod R voisi tarkoittaa, jos R ei olisi kokonaisluku, mutta kaikki varmaan tietävät mitä kysyjä tarkoitti. "
Matematiikka on täsmällistä ja tuollaisia oletuksia ei pidä koskaan tehdä.
"Merkintä (mod R) ei tarkoita mitään, ellei R ole kokonaisluku, ainakaan millään täysjärkisellä määritelmällä. "
Onpas. Jos R on relaatio, on x=y (mod R) järkevä merkintä sille, että x ja y ovat relaatiossa keskenään.
Missä teille on oikein opetettu tälläisiä merkintöjä? Ansaitsevat potkut...
Tämä on aivan käsittämätön merkintä. Useimmat ekvivalenssit eivät missään mielessä muistuta moduloaritmetiikkaa, joten menee kyllä mun ymmärryksen yli, miksi kukaan haluaisi sekoittaa lukijansa päätä moisella.
0Äänestä
nkorppi
mat. opiskelija kirjoitti:
Ei tuossa laskutoimituksista puhuttukaan.
"En ole kyllä tiedä, mitä x = y mod R voisi tarkoittaa, jos R ei olisi kokonaisluku, mutta kaikki varmaan tietävät mitä kysyjä tarkoitti. "
Matematiikka on täsmällistä ja tuollaisia oletuksia ei pidä koskaan tehdä.
"Merkintä (mod R) ei tarkoita mitään, ellei R ole kokonaisluku, ainakaan millään täysjärkisellä määritelmällä. "
Onpas. Jos R on relaatio, on x=y (mod R) järkevä merkintä sille, että x ja y ovat relaatiossa keskenään.
... omenat ja lampaat sekaisin, joten on hyvinkin järkevää tehdä oletuksia siitä, mitä tarkoitettiin. Muuten kaikki aika menisi merkinnöistä kinaamiseen, niin kuin tässä.
Matematiikan täsmällisyys ei suinkaan riipu siitä mitä merkintää käytetään, mutta 99.99% ihmisistä tulkitsee modulo-merkinnän aritmeettisesti, joten kannattaa käyttää sitä merkintää yleisesti ekvivalensseista, jos haluaa sekaannuttaa.
0Äänestä
jukepuke
mat. opiskelija kirjoitti:
Ei tuossa laskutoimituksista puhuttukaan.
"En ole kyllä tiedä, mitä x = y mod R voisi tarkoittaa, jos R ei olisi kokonaisluku, mutta kaikki varmaan tietävät mitä kysyjä tarkoitti. "
Matematiikka on täsmällistä ja tuollaisia oletuksia ei pidä koskaan tehdä.
"Merkintä (mod R) ei tarkoita mitään, ellei R ole kokonaisluku, ainakaan millään täysjärkisellä määritelmällä. "
Onpas. Jos R on relaatio, on x=y (mod R) järkevä merkintä sille, että x ja y ovat relaatiossa keskenään.
Hetkonen. Siis minä ainakin käsitän merkinnän x = y (mod R), että se tarkoittaa "x on y modulo R". Se ei siis ole hyvä merkintä x:n ja y:n ekvivalenssirelaatiolle. Merkintää xRy tai x~y olen nähnyt useampaan otteeseen ja minusta ne ovat selkeimmät.
0Äänestä
jukepuke
Modulo on siis ekvivalenssirelaatio, eli seuraavat säännöt täyttävät ekvivalenssirelaation vaatimukset:
1. Kun x=y, niin x ≡ y (mod n).
2. Jos x ≡ y (mod n), niin y ≡ x (mod n).
3. Jos x ≡ y (mod n) ja y ≡ z (mod n), niin x ≡ z (mod n).
0Äänestä
nkorppi
... yhtä hyvä tapa ajatella ekvivalenssirelaatiota, on tapana jakaa kaikki S:n alkiot erillisiin joukkoihin, niin että keskenään ekvivalentit alkiot ovat samassa joukossa.
0Äänestä
ash
Niin kuin on täällä jo sanottukin, tuo merkintä todennäköisesti tarkoittaa, että x ja y ovat relaatiossa R keskenään.
Minuakin jäi kiinnostamaan, missä tuota merkintää on käytetty. Voisiko alkuperäinen kysyjä vähän valottaa asiaa?
0Äänestä
modulo
Löysin vastauksen kysymykseeni. Jos X:n alkiot x ja y ovat ekvivalentit modulo R (R on ekvival. relaatio, ei kokonaisluku), niin x:n ja y:n ekvivalenssiluokat ovat samat p(x) = p(y) (p on kanoninen surjektio p: X -> X\R, joka liittää alkioon sen ekvivalenssiluokan), kuten muutamat taisivat jo tässä viestiketjussa mainita.
x (kolme viivaa päällekäin, kongruenssi) y (mod R)
on ilmeisesti algebrassa tavallinen tapa merkitä alkioiden ekvivalenttius.
Pari esimerkkiä tämän merkinnän käytöstä muualta:
1) Alkioiden x ja y sanotaan olevan ekvivalentteja modulo G jos G:ssä on olemassa permututaatio p, joka kuvaa x:n y:ksi, p(x)=y. Tässä G on astetta n oleva permutaatioryhmä.
Löysin vastauksen kysymykseeni. Jos X:n alkiot x ja y ovat ekvivalentit modulo R (R on ekvival. relaatio, ei kokonaisluku), niin x:n ja y:n ekvivalenssiluokat ovat samat p(x) = p(y) (p on kanoninen surjektio p: X -> X\R, joka liittää alkioon sen ekvivalenssiluokan), kuten muutamat taisivat jo tässä viestiketjussa mainita.
x (kolme viivaa päällekäin, kongruenssi) y (mod R)
on ilmeisesti algebrassa tavallinen tapa merkitä alkioiden ekvivalenttius.
Pari esimerkkiä tämän merkinnän käytöstä muualta:
1) Alkioiden x ja y sanotaan olevan ekvivalentteja modulo G jos G:ssä on olemassa permututaatio p, joka kuvaa x:n y:ksi, p(x)=y. Tässä G on astetta n oleva permutaatioryhmä.
Oikeassa olit. Merkintää siis käytetään myös perinteisen kokonaislukujen modulolaskennan ulkopuolella. Asiayhteys on kyllä tiedettävä tässä tapauksessa!
0Äänestä
nkorppi
modulo kirjoitti:
Löysin vastauksen kysymykseeni. Jos X:n alkiot x ja y ovat ekvivalentit modulo R (R on ekvival. relaatio, ei kokonaisluku), niin x:n ja y:n ekvivalenssiluokat ovat samat p(x) = p(y) (p on kanoninen surjektio p: X -> X\R, joka liittää alkioon sen ekvivalenssiluokan), kuten muutamat taisivat jo tässä viestiketjussa mainita.
x (kolme viivaa päällekäin, kongruenssi) y (mod R)
on ilmeisesti algebrassa tavallinen tapa merkitä alkioiden ekvivalenttius.
Pari esimerkkiä tämän merkinnän käytöstä muualta:
1) Alkioiden x ja y sanotaan olevan ekvivalentteja modulo G jos G:ssä on olemassa permututaatio p, joka kuvaa x:n y:ksi, p(x)=y. Tässä G on astetta n oleva permutaatioryhmä.
... on aina jotain käsittämättömiä 'omia merkintätapojaan', esimerkiksi funktion kirjoittaminen oikealta vasemmalle. Tarkoituksena on luultavasti vain aiheuttaa sekaannusta ulkopuolisten aivoissa.
0Äänestä
jukepuke
nkorppi kirjoitti:
... on aina jotain käsittämättömiä 'omia merkintätapojaan', esimerkiksi funktion kirjoittaminen oikealta vasemmalle. Tarkoituksena on luultavasti vain aiheuttaa sekaannusta ulkopuolisten aivoissa.
...tarkoitatko yhdistetyn funktion merkitsemistä fog (= "f pallo g")? Se ainakin on perusteltua esim. analogian (fog)(x) = f(g(x)) vuoksi...
0Äänestä
nkorppi
jukepuke kirjoitti:
...tarkoitatko yhdistetyn funktion merkitsemistä fog (= "f pallo g")? Se ainakin on perusteltua esim. analogian (fog)(x) = f(g(x)) vuoksi...
... sitä että monet algebristit merkitsevät gf, kun tarkoitetaan f(g), missä g on ryhmän alkio.
0Äänestä
ne haluis
nkorppi kirjoitti:
... sitä että monet algebristit merkitsevät gf, kun tarkoitetaan f(g), missä g on ryhmän alkio.
Vastaukset 17
Vanhimmat
... että x-y on jaollinen R:llä.
Toisin sanoen x ja y antavat saman jakojäännöksen R:llä jaettaessa.
Esim. 8 = 3 mod 5.
Relaatio ~ joukolla S on jokin joukon S^2 osajoukko. Kirjoitamme x ~ y merkintänä sille, että (x,y) kuuluu joukkoon ~ .
~ on ekvivalenssirelaatio jos:
1) x ~ x jokaiselle x in S
2) x ~ y ===> y ~ x
3) x ~ y ja y ~ z ===> x ~ z
Tuossahan sanottiin, että R on ekvivalenssirelaatio, ei kokonaisluku.
Määritelmä: Laskutoimitus * ja ekvivalenssi R joukossa E ovat yhteensopivat, jos kaikilla E:n alkioilla x_1, x_2, y_1 ja y_2 ehdoista
x_1=x_2 (mod R) ja y_1=y_2 (mod R) seuraa
x_1*y_1=x_2*y_2 (mod R).
En ole kyllä tiedä, mitä x = y mod R voisi tarkoittaa, jos R ei olisi kokonaisluku, mutta kaikki varmaan tietävät mitä kysyjä tarkoitti.
Joko R on kokonaisluku tai relaatio, ei molempia.
Merkintä (mod R) ei tarkoita mitään, ellei R ole kokonaisluku, ainakaan millään täysjärkisellä määritelmällä.
Määritelmäsi on ruma kuin perse.
... edes keskustellut siitä, kunnioittaako binäärioperaatio jotain relaatiota.
Ei tuossa laskutoimituksista puhuttukaan.
"En ole kyllä tiedä, mitä x = y mod R voisi tarkoittaa, jos R ei olisi kokonaisluku, mutta kaikki varmaan tietävät mitä kysyjä tarkoitti. "
Matematiikka on täsmällistä ja tuollaisia oletuksia ei pidä koskaan tehdä.
"Merkintä (mod R) ei tarkoita mitään, ellei R ole kokonaisluku, ainakaan millään täysjärkisellä määritelmällä. "
Onpas. Jos R on relaatio, on x=y (mod R) järkevä merkintä sille, että x ja y ovat relaatiossa keskenään.
Missä teille on oikein opetettu tälläisiä merkintöjä? Ansaitsevat potkut...
Tämä on aivan käsittämätön merkintä. Useimmat ekvivalenssit eivät missään mielessä muistuta moduloaritmetiikkaa, joten menee kyllä mun ymmärryksen yli, miksi kukaan haluaisi sekoittaa lukijansa päätä moisella.
... omenat ja lampaat sekaisin, joten on hyvinkin järkevää tehdä oletuksia siitä, mitä tarkoitettiin. Muuten kaikki aika menisi merkinnöistä kinaamiseen, niin kuin tässä.
Matematiikan täsmällisyys ei suinkaan riipu siitä mitä merkintää käytetään, mutta 99.99% ihmisistä tulkitsee modulo-merkinnän aritmeettisesti, joten kannattaa käyttää sitä merkintää yleisesti ekvivalensseista, jos haluaa sekaannuttaa.
Hetkonen. Siis minä ainakin käsitän merkinnän x = y (mod R), että se tarkoittaa "x on y modulo R". Se ei siis ole hyvä merkintä x:n ja y:n ekvivalenssirelaatiolle. Merkintää xRy tai x~y olen nähnyt useampaan otteeseen ja minusta ne ovat selkeimmät.
Modulo on siis ekvivalenssirelaatio, eli seuraavat säännöt täyttävät ekvivalenssirelaation vaatimukset:
1. Kun x=y, niin x ≡ y (mod n).
2. Jos x ≡ y (mod n), niin y ≡ x (mod n).
3. Jos x ≡ y (mod n) ja y ≡ z (mod n), niin x ≡ z (mod n).
... yhtä hyvä tapa ajatella ekvivalenssirelaatiota, on tapana jakaa kaikki S:n alkiot erillisiin joukkoihin, niin että keskenään ekvivalentit alkiot ovat samassa joukossa.
Niin kuin on täällä jo sanottukin, tuo merkintä todennäköisesti tarkoittaa, että x ja y ovat relaatiossa R keskenään.
Minuakin jäi kiinnostamaan, missä tuota merkintää on käytetty. Voisiko alkuperäinen kysyjä vähän valottaa asiaa?
Löysin vastauksen kysymykseeni. Jos X:n alkiot x ja y ovat ekvivalentit modulo R (R on ekvival. relaatio, ei kokonaisluku), niin x:n ja y:n ekvivalenssiluokat ovat samat p(x) = p(y) (p on kanoninen surjektio p: X -> X\R, joka liittää alkioon sen ekvivalenssiluokan), kuten muutamat taisivat jo tässä viestiketjussa mainita.
x (kolme viivaa päällekäin, kongruenssi) y (mod R)
on ilmeisesti algebrassa tavallinen tapa merkitä alkioiden ekvivalenttius.
Pari esimerkkiä tämän merkinnän käytöstä muualta:
1) Alkioiden x ja y sanotaan olevan ekvivalentteja modulo G jos G:ssä on olemassa permututaatio p, joka kuvaa x:n y:ksi, p(x)=y.
Tässä G on astetta n oleva permutaatioryhmä.
Lähde: http://matriisi.ee.tut.fi/~erikssos/seminaari/Sym.pdf
2) Olkoon I renkaan ideaali. Määritellään ekvivalenssirelaatio asettamalla
a~b b-a on I:n alkio
Relaatio luetaan: "a ja b ovat ekvivalentit modulo I".
Lähde: http://matriisi.ee.tut.fi/~erikssos/seminaari/cliff.pdf
Oikeassa olit. Merkintää siis käytetään myös perinteisen kokonaislukujen modulolaskennan ulkopuolella. Asiayhteys on kyllä tiedettävä tässä tapauksessa!
... on aina jotain käsittämättömiä 'omia merkintätapojaan', esimerkiksi funktion kirjoittaminen oikealta vasemmalle. Tarkoituksena on luultavasti vain aiheuttaa sekaannusta ulkopuolisten aivoissa.
...tarkoitatko yhdistetyn funktion merkitsemistä fog (= "f pallo g")? Se ainakin on perusteltua esim. analogian (fog)(x) = f(g(x)) vuoksi...
... sitä että monet algebristit merkitsevät gf, kun tarkoitetaan f(g), missä g on ryhmän alkio.
itelleen gf:n?