Tulipa tässä eteen seuraavanlainen, melko yksinkertaiselta näyttävä yhtälö, joka jostain syystä ainakin minulle ei aukea miten ratkaistaa tai siis lähdetään ratkomaan. Neliöön korottamalla?
SQR 3X 1 - SQR x-1 = 6
SQR 3X 1 - SQR x-1 = 6
Juuriyhtälö ratkominen
mitentehdä
13803
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 13
Vanhimmat
Korota toiseen, siirrä neliöjuuret toiselle puolelle ja yhdistä, korota uudelleen toiseen, järjestä termit toisen asteen yhtälöksi ja testaa ratkaisut. Ainakin 65 käy.
... ratkeaa niin, että sen tekee. On virhe ajatella, että pitäisi etukäteen tietää kaikki vaiheet uskaltaakseen aloittaa.
Pari neliöön korottamista saattanevat auttaa, mutta en tiedä miksi et niitä jo suorittanut...? Itsevarmuuden puutetta?
Muista kuitenkin rajata harkitsemasi ratkaisujoukko jo aluksi niin, että 3x 1 >= 0 ja x-1 >= 0. Menetät nimittäin muuten tietoa alkuperäisestä yhtälöstä neliöidessäsi.
Onko yhtälösi
SQR(3*x) 1-SQR(x)-1 = 6,
SQR(3*x 1)-SQR(x)-1 = 6,
SQR(3*x 1)-SQR(x-1) = 6
SQR(3*x) 1-SQR(x-1) = 6,
SQR(3*x 1-SQR(x)-1) = 6
vai vielä jotakin muuta?
Tieto auttaisi melkoisesti ratkaisua.
että SQR 3X 1 - SQR x-1 = 6
tarkoittaa sqrt(3x 1) - sqrt(x-1) = 6, jos oletetaan, että X = x.
Eli tehtävä meni näin:
SQR (3x 1) - SQR (x-1) = 6
Korotetaan puolittain toiseen saadaan:
3x 1 x-1-2SQR(3x 1)(x-1)=36
Näin päästään eroon ekasta juuresta
Siirretään jäljelle jäänyt juuri yksin toiselle puolen ja yhdistellään termejä
3x 1 x-1-36 = 2SQR(3x 1)(x-1)
4x-36 = 2SQR(3x 1)(x-1)
Korotetaan taas tämä puolittain toiseen jotta päästään eroon toisesta juuresta
(4x-36)^2 = 4(3x 1)(x-1)
(4x-36)(4x-36)=4(3x^2-3x x-1)
16x^2-144x-144x 1296=12x^2-12x 4x-4
16x^2-144x-144x 1296-12x^2 12x-4x 4=0
4x^2-280x 1300=0
x^2-70x 325=0
Tästä toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla sain
x1=65 ja x2=5 , josta sijoittamalla alkuperäiseen 65 On ratkaisu X=65
Menin vain aamulla hiukan harhaan, ihan perusvirhe alussa kun korotin toiseen, sillä tietysti miinus kertaa miinus on plussa. Ei siinä muuta tarvitsekkaan kun lasku ei tullut oikein. Huomasin kun aloin tarkastamaan.
Voisiko ajtella, että jotakin tämän tasoisia pääsykoetehtäviä olisi ammattikorkean tekniikan alan kokeessa?
Sanovat, että ovat helpot tehtävät.
Matematiikassa kaikki asiat on ennalta sovittu, ja funktion merkitsemiseen on yleisesti sovittu käytettäväksi sulkuja. Muutoinkin suluilla saadaan selkeyttä yhdelle riville kirjoitettuihin lausekkeisiin.
Esimerkiksi on vakiintunut tapa kirjoittaa
sin 2x tai jopa 2 sin x cos x.
(Sulkujen selkeyttä en silti kiistä.)
Vaikka trigonometriset funktiot usein kirjoitetaankin tulomuotoisen argumentin tapauksessa esittämälläsi tavalla, niin summa tai erotus merkitään aina sulkuihin, esim. cos(2x 1) tai tan(x-π).
... helpompaa ja nopeampaa, jos ensin siirtäisit SQR(x-1) toiselle puolelle??
SQR(3x 1) = SQR(x-1) 6
==> 3x 1 = 36 12 SQR(x-1) x-1
SQR(x-1) = (x-17)/6
==> x-1 = 1/36 (x^2-34x 289)
x^2-70x 325 = 0
x = 65 TAI x = 5
Implikaatioiden suunnat kannattaa aina merkitä näkyviin. Ne havainnollistavat miksi kaikki ratkaisut kuuluvat joukkoon {5,65}, siitä huolimatta, että 5 ei ole ratkaisu:
A = B ==> A^2 = B^2,
mutta A^2 = B^2 ==> (A = B TAI A = -B)
Elikä x |---> x^2 on funtkio, mutta epä-injektiivinen sellainen.
Siispä A^2 = B^2 sisältää kaikki alkuperäisen yhtälön A = B ratkaisut sekä mahdollisesti ylimääräisiä.
logaritmeilla:
(3x 1)^0.5=6 (x-1)^0.5
ln((3x 1)^0.5)=ln(6 (x-1)^0.5)
0.5ln(3x 1)=ln(6 (x-1)^0.5)
ln(3x 1)=2ln(6 (x-1)^0.5)=ln(6 (x-1)^0.5)^2=ln(36 12(x-1)^0.5 x-1)
3x 1=35 x 12(x-1)^0.5=>2x=34 12(x-1)^0-5
x-17=6(x-1)^0.5
ln(x-17)=ln6 ln(x-1)^0.5
ln(x-17)=ln6 0.5ln(x-1)
2ln(x-17)=2ln6 ln(x-1)
ln(x-17)^2=ln36 ln(x-1)
ln(x-17)^2=ln(36(x-1))
(x-17)^2=36x-36
x^2-34x 289=36x-36
x^2-70x 325=0
x=65 tai 5, joista 65 kelpaa
Empäs muistanut, tuota tapaa, että sen voi noinkin tehdä. Hyvä,että on erilaisia tapoja päästä samaan lopputulokseen.
Yhtälöketjussa vaihe
Yhtälö ln(3x 1)=2ln(6 (x-1)^0.5)=ln(6 (x-1)^0.5)^2=ln(36 12(x-1)^0.5 x-1)
on sama kuin toiseen korottaminen, joten oikeastaan tuo samantapainen ratkaisu kuin toiseen korottamalla saatu. Sen todistaminen, että on olemassa neliöjuurifunktio on aidosti helpompaa kuin sen todistaminen, että on olemassa logaritmifunktio. Sitä paitsi ensimmäinen askel
ln(3x 1)=2ln(6 (x-1)^0.5)=ln(6 (x-1)^0.5)^2=ln(36 12(x-1)^0.5 x-1)
on väärin. Matematiikassa asiat kannattaa aina tehdä mahdollisimman yksinkertaisesti. Tämä oli siis esimerkki, miten asioita ei pidä tehdä.