Osaisko joku todistaa tän induktiolla:
2^n>n ,(kaksi potenssiin n on suurempi kuin n) aina kun n kuuluu luonnollisiin lukuihin.
Sit olis vielä suoralla todistuksella: n!>2^n , n on suurempi tai yhtä suuri kuin 4, n kuuluu luonnollisiin lukuihin.
Oon yrittäny jo pari päivää mutta ei oikeen tahdo mennä. En oikeen keksi kuinka noita lähtis edes alottamaan. Kiitti mahdollisista vastauksista.
2^n>n ,(kaksi potenssiin n on suurempi kuin n) aina kun n kuuluu luonnollisiin lukuihin.
Sit olis vielä suoralla todistuksella: n!>2^n , n on suurempi tai yhtä suuri kuin 4, n kuuluu luonnollisiin lukuihin.
Oon yrittäny jo pari päivää mutta ei oikeen tahdo mennä. En oikeen keksi kuinka noita lähtis edes alottamaan. Kiitti mahdollisista vastauksista.
Vastaukset 4
Vanhimmat
Tiedät varmaan mitä induktio tarkoittaa? Todistus on siis kaksivaiheinen.
Ensin osoitat, että homma toimii luvulla 1, ihan vain toteamalla, että 2^1 > 1.
Sitten osoitat, että jos epäyhtälösi on totta jollekin luonnolliselle luvulle, on se totta myös seuraavalle, eli:
Jos 2^n>n, niin silloin myös 2^(n 1)>n 1.
En kerro täydellistä vastausta, mutta annan vihjeen: Miten epäyhtälösi vasen ja oikea puoli muuttuvat, kun n kasvaa yhdellä? Jos vasen puoli oli suurempi arvolla n, onko se varmasti suurempi myös arvolla n 1?
Ai niin, ja jos teillä on luonnolliset luvut määritelty alkamaan luvusta 0 eikä luvusta 1, käsittelet vielä erikseen tapauksen n = 0.
Sitten vihje tuohon toiseen tehtävään (n!>2^n, n>=4):
Mitä n! tarkoittaa? Mitä 2^n tarkoittaa? Kun kirjoitat kummankin auki kertolaskuna, näet varmaan suoraan, miksi epäyhtälön täytyy olla totta.
Osaisin.
Tohon ensimmäiseen että 2^1 > 1 tietenkin ja induktio oletus 2^n > n niin 2^(n 1)>n 1 niin jost tohon laittaa että 2^n * 2^1 > n 1 ja koska 2^n>n niin 2^n * 2 > 2n > n 1 (laitetaan 2^n tilalle n) niin tostahan tulee että n>1 niin onko tuo sitten tolla selvä?
Aivan.