Jopas tällä kertaa on epäselvyyksiä...
Funktio f:R^2->R^2 f(x,y)=(x abs(y),x^2 y^3) kaikilla (x,y) e R^2. Koska funktio on differentioituva?
Olen käsittänyt, että osittaisderivaattojen jatkuvuudesta seuraa differentioituvuus (tietyn pisteen avoimessa palloympäristössä kaikki polut lähestyvät pistettä sen sisäpuolelta). Selvästi kaikki osittaisderivaatat ovat jatkuvia?
del^f1/del^x=1, del^f1/del^y=sgn(y)
del^f2/del^x=2x, del^f2/del^y=3y^2
Olenko tulkinnut tätäkin vain jotenkin väärin vai onko kyseessä joku "kompa"?
Funktio f:R^2->R^2 f(x,y)=(x abs(y),x^2 y^3) kaikilla (x,y) e R^2. Koska funktio on differentioituva?
Olen käsittänyt, että osittaisderivaattojen jatkuvuudesta seuraa differentioituvuus (tietyn pisteen avoimessa palloympäristössä kaikki polut lähestyvät pistettä sen sisäpuolelta). Selvästi kaikki osittaisderivaatat ovat jatkuvia?
del^f1/del^x=1, del^f1/del^y=sgn(y)
del^f2/del^x=2x, del^f2/del^y=3y^2
Olenko tulkinnut tätäkin vain jotenkin väärin vai onko kyseessä joku "kompa"?
Vastaukset 4
Vanhimmat
on reaaliarvoisille funktioille. Siis jos funktion f:U->R osittaisderivaatat
ovat jatkuvia joukossa U, niin f on differentioituva joukossa U.
Tässä tapauksessa voimme käyttää kyseistä tulosta hyväksi, sillä joukko U (tässä tapauksessa R^2) on reaalinen ja osittaisderivaatat ovat jatkuvia tässä joukossa. En ainakaan keksi missä nuo voisivat olla epäjatkuvia.
sgn(y) ole epäjatkuva...
Niinpä tietysti, miten puusilmä taas olenkaan :) Kiitos huomiosta!