Mikä on integraalille 0 viiteen yhtälöllä sqrt(25-x^2) ja mikä on yhtälön integraali?
Piillä jaettaessa pitäisi tulla rationaali luku, kun tuo on 5 säteisen ympyrän kaava.
Piillä jaettaessa pitäisi tulla rationaali luku, kun tuo on 5 säteisen ympyrän kaava.
Vastaukset 2
Vanhimmat
haetaan määrättyä integraalia välillä o..r
funktiolle y=sqrt(r^2-x^2)
Tässä käytetään sijoitusta x=rsint, jolloin
dx=rcostdt ja uudet rajat 0=rsint=>0 ja
r=rsint=>pii/2
alkuperäinen integraali muuttuu
integraaliksi 0...pii/2 int(sqrt(r^2-r^2sin^2t)
rcostdt)= 0...pii/2 int(r^2cos^2tdt)
kaavasta
cos2t=2cos^2t-1 saadaan, cos^2t=cos2t/2 1/2
integraalista tulee nyt
0..pii/2 int(r^2(cos2t/2 1/2)dt)=
0...pii/2 sij(r^2(sin2t/4 t/2))=r^2*pii/4
tässä r=5, joten tulee 25pii/4
Tässä tehtävässä varmaankin kuitenkin haettiin hoksaamista, että tuo kysytty integraali on 5-säteisen neljännesympyrän ala, mutta tämä nyt oli tässä.
Se integraali vielä.
Tuosta ylempää löytyy , että integraali on
r^2*½(t ½*sin2t) C
On kaava sin2t=2sintcost, ja käytettiin sijoitusta x=rsint, josta seuraa
t=arcsin(x/r), sekä sint=x/r
myös cost=sqrt(1-sin^2t)=sqrt(1-(x/r)^2)
Integraali saadaan näillä palautettua muotoon:
r^2/2*(arcsin(x/r) ½*2*(x/r)*sqrt(1-(x/r)^2)) C
Ja taas r=5, niin tulee:
25/2(arcsin(x/5) x/5*sqrt(1-(x/5)^2)) C=
(25/2)arcsin(x/5) ½*sqrt(25-x^2) C