Miten voi toditaa, että mielivaltaisen suurestä luvusta ottamalla riittävän monta neliöjuurta luku lähenee ykköstä ja päätyy siihen?
Kiitän.
Kiitän.
Voiko todistaa?
ABI90....
9514
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 9
Vanhimmat
... että m>1 ja merkitään x_n = m^(1/(2n)).
Väite: x_n --> 1, kun n --> oo.
Huomaa, että x_(i 1) < x_i kaikille luonnollisille luvuille i.
Mutta tiedämme myöskin, että x_i > 1 kaikille i. (Pienempää lukua toistuvasti neliöimällä ei voisi päätyä lukuun m.)
Reaalisuoralla monotoninen ja rajattu jono suppenee aina. Siispä x_n --> k, jollekin k >= 1.
Oletetaan, että k>1. Tällöin k^2 > k. Suppenevuuden määritelmän mukaan löytyy jonon x_n jäseniä mielivaltaisen läheltä k:ta. Tämä on kuitenkin mahdotonta, sillä yhdellekään i ei voi päteä x_i < k^2, muuten x_(i 1) < k.
Siispä k=1.
MOT
Asiaa voi havainnollistaa piirroksella:
Piirrä käyrät y = njuuri(x) ja y=x. Valitse joku arvo x>1. Jos alat vetämään neliskulmaista siksakkia näiden kahden käyrän välillä, aloittaen pisteestä (x,njuuri(x)), on selvää että lähestyt pistettä (1,1).
... että m>1 ja merkitään x_n = m^(1/(2n)).
Tarkoitit kai x_n = m^(1/(2^n))
... mutta tietysti todistus toimii myös virheen kanssa.
... 'päätyy siihen', et ajatellut asiaa loppuun.
Kuvittele, että luku on suurempi kuin yksi ja neliöjuuria ottamalla päätyisimme lopulta lukuun 1.
Mutta ykköstä neliöimällä ei koskaan päästä takaisin alkuperäiseen lukuun! Siksi neliöjuuria ottamalla ei koskaan voi saavuttaa ykköstä.
x0>0 olkoon se luku josta lähdetään liikkeelle.
x1=sqrt(x0)
x2=sqrt(x1)=x0^(1/(2^2))
...
xn=x0^(1/(2^n))
Tiedetään, että 1/n->0, joten myös 1/2^n->0 (sijoitus k=2^n, kun n->ääretön, niin k->ääretön ja 1/k->0 eli 1/2^n->0). Koska
x0^y on jatkuva funktio, niin x0^(1/2^n)->x0^0=1.
Näin osoitetaan että väite pitää paikkansa myäs luvuille 1 ja mielivaltaisen pienille positiivisille luvuille.
Eli neliöjuuren ottaminen toistuvasti positiivisesta luvusta antaa raja-arvona aina 1.
... ole kauhean havainnollistavaa, ellei lukija sitten jo valmiiksi ymmärrä jatkuvuuden eri määritelmiä tai sitä, miten funktion jatkuvuus voitaisiin tarvittaessa todistaa.
Toisaalta, jos lukija olisi nämä asiat ymmärtänyt, ei hän olisi varmaan tätäkään asiaa edes kysynyt.
Jatkuvuuden käyttö on tietysti ongelmallista jos sitä ei hyväksytä, mutta yhtä lailla sinun esimerkkisi missä käytetään hyväksi sitä seikkaa että aidosti laskevalla alhaalta rajoitetulla jonolla on raja-arvo vaatii yhtälailla todistelua.
Nimimerkistä päätellen kyseessä on lukiolainen, joten heille jatkuvuus ja antamasi kaltaiset lauseet annetaan valmiina työkaluina (ilman todistuksia). Joten kumpi tahansa menetelmistä käy lukiotehtävissä, minun menetelmäni vain on lukiolaisen tarkoituksiin kätevämpi.
Kun raja-arvot käydään läpi lukiossa, siellä annetaan nimenomaan säännöt raja-arvoille: ,-,* ja yhdistetyt funktiot.
... oma oletettu väitteeni on niin intuitiivisesti tosi, että siitä pystyy kuka tahansa heti vakuuttumaan... ;)
"Aloita äärellisen etäisyyden päästä seinää. Jos otat askelia kohti seinää (yhteen suuntaan), sinun pitää tietenkin jossain vaiheessa alkaa ottaa yhä pienempiä ja pienempiä askeleita, jotta tilaa äärettömän moneen askeleeseen riittäisi. On selvää ettet koskaan saavuta seinää, joten siirretään seinää niin lähelle kuin mahdollista, niin ettet silti koskaan saavuta sitä. Siinä raja-arvo."
Jospa vielä kolmas tapa:
Oletetaan että reaaliluku josta lähdetään ottamaan neliöjuuria on x>1 ja merkitään x_n=x^(1/2^n), eli x_n on se luku johon päädytään kun on otettu n kertaa peräkkäin neliöjuuri.
Huomataan että jonon peräkkäisille erotuksille pätee:
x-x_1=x_1*(x_1-1),
x_1-x_2=x_2*(x_2-1),
...
x_n-x_(n 1)=x_(n 1)*(x_(n 1)-1) jne.
Jos nyt oletetaan että kaikki luvut x_n>1 e, jollain kiinteällä e>0, niin silloin kaikki nuo peräkkäiset erotukset ovat >(1 e)*e>e.
Laskemalla yhteen peräkkäiset erotukset saadaan nyt
x-x_(n 1) > (n 1)*e
eli kun valitaan n>x/e, niin saadaan
x-x_(n 1) > x eli x_(n 1)1 e.
Tämä tarkoittaa että kaikilla positiivisilla e, on olemassa sellainen kohta n että x_n