...ratkaistaessa Gödelin epätäydellisyysperiaatetta. Siis yleisellä pohjalla, jos kysytään yliopiston tentissä osittain sanallista ratkaisua?
Ymmärrän Gödel-numerot, eli siis jokainen matemaattinen (tai lukuteoreettinen) lause voidaan koodata (suuriksi) alkulukujen potensseiksi. Lisäksi Gödel käytti lausetta "Tämä lause ei ole todistuva." Mitenköhän sitten jatketaan?
Ymmärrän Gödel-numerot, eli siis jokainen matemaattinen (tai lukuteoreettinen) lause voidaan koodata (suuriksi) alkulukujen potensseiksi. Lisäksi Gödel käytti lausetta "Tämä lause ei ole todistuva." Mitenköhän sitten jatketaan?
Vastaukset 2
Vanhimmat
On aika vaikeaa selvittää. Liittyy metamatematiikkaan.
Matematiikka on kieli, joka käsittelee esimerkiksi lukuja ja niiden suhteita. Metamatematiikaksi puolestaan kutsutaan kieltä, joka käsittelee matematiikkaa, siis esimerkiksi kertoo jotain siitä, mitä matematiikka on ja miten se toimii. Siten esimerkiksi lause '1 1=2' on matematiikkaa, mutta lause '1 1=2 on matematiikkaa' kuuluu metamatematiikkaan. Samoin lauseet 'aritmetiikka on ristiriidatonta' ja 'jokainen aritmeettinen tosi väite voidaan todistaa' ovat metamatemaattisia väittämiä.
Kun saat vastaukset, kerro minullekin.
Eli Gödel-numeroinnin avulla jos tiedetään jompi kumpi P tai G(P) (ilmaisun P Gödel-numero), niin tiedämme yksikäsitteisesti myös toisenkin niistä.
Ensiksi tekninen vääntö, jolla osoitetaan, että tietyntyyppiset ilmaisut koskien Gödel-numerointia ovat esitettävissä teoriassamme. Tämän avulla voidaan sitten todeta, että seuraava ilmaisu
B(p) = on olemassa x s.e. ( p on ilmaisun Gödel-numero ja x on saman ilmaisun todistuksen Gödel-numero)
on esitettävissä teoriassa.
Sitten käsiä heilutellen muodotetaan ilmaisu P, jolla on seuraava hauska ominaisuus:
(*) P "jos ja vain jos" "ei" B(G(P))
missä "ei" B(G(P)) ei-suoranaisesti, mutta kierrellen sanoo, että ei ole olemassa ilmaisun P todistusta (koska todistuksen Gödel-numeroa ei ole olemassa).
Noniin, alkuperäisessä todistuksessaan Gödel osoittaa väitteensä omega-ristiriidattomille systeemeille, joka ristiriidattomien systeemien pieni yleistys, mutta ne kattavat käytännössä kaikki mielenkiintoiset aritmeettiset systeemit. Eli helppouden nimissä oletetaan nyt, että systeemi on ristiriidaton. Ja todistus menee nyt käsiä heilutellen:
Jos P on todistuva, niin
1) P:llä on todistus ja sen todistuksella on Gödel-numero mutta
2) P:n ominaisuuden (*) perusteella ei ole olemassa sen todistuksen Gödel-numeroa
eli systeemimme olisi ristiriitainen.
Siis P ei ole todistuva.
Mikäli P ei ole todistuva systeemissämme, niin tällöin ilmaisu B(G(P)) on todistuva systeemissämme. Siis on olemassa sellainen x, että x on P:n todistuksen Gödel-numero. Eli P on todistuva, mikä onkin taas ristiriita.