tämän tehtävän ehdot on hiukan vaikea selittää tarkasti, mutta yritän tehdä sen näin:
-ruudukkoon muodostetaan alueita, jotka koostuvat kokonaisista ruuduista. Tätä kuvaa vaikkapa ruutupaperi, jossa tietyt ruudut on väritetty, muut eivät ole.
-ruutuja saa värittää (valita alueeseen) siten, että peräkkäisiä ruutuja saa olla väritetty mielivaltainen määrä, tähän ruuturiviin ei saa olla muut väritetyt ruudut kosketuksissa muuten kuin kulmittain. Eli vierekkäin ruutuja saa olla vain yhteen suuntaan (eli ruutupaperin tapauksessa vain joko vaaka- tai pystysuoraan).
-tähän alueeseen pystyy piirtämään ympyrän siten, että ympyrän kaari jää kokonaan väritettyjen ruutujen sisään, alueen ulkopuolella (värittämättömillä ruuduilla) siis ei saa esiintyä kaarta.
-lisäksi jokaisen alueeseen valitun ruudun täytyy sisältää osa ympyrän kaaresta.
Kysymys: onko tällaiset ehdot täyttäviä alueita olemassa enempää kuin kuusi?
-ruudukkoon muodostetaan alueita, jotka koostuvat kokonaisista ruuduista. Tätä kuvaa vaikkapa ruutupaperi, jossa tietyt ruudut on väritetty, muut eivät ole.
-ruutuja saa värittää (valita alueeseen) siten, että peräkkäisiä ruutuja saa olla väritetty mielivaltainen määrä, tähän ruuturiviin ei saa olla muut väritetyt ruudut kosketuksissa muuten kuin kulmittain. Eli vierekkäin ruutuja saa olla vain yhteen suuntaan (eli ruutupaperin tapauksessa vain joko vaaka- tai pystysuoraan).
-tähän alueeseen pystyy piirtämään ympyrän siten, että ympyrän kaari jää kokonaan väritettyjen ruutujen sisään, alueen ulkopuolella (värittämättömillä ruuduilla) siis ei saa esiintyä kaarta.
-lisäksi jokaisen alueeseen valitun ruudun täytyy sisältää osa ympyrän kaaresta.
Kysymys: onko tällaiset ehdot täyttäviä alueita olemassa enempää kuin kuusi?
Vastaukset 5
Vanhimmat
mutta, muuttamalla etäisyyden käsitettä tuollaisia alueita saa äärettömän paljon.
Miten ruutujen reunat määritellään, kuuluuko ne ruutuun. Eli jos piirretty ympyrä sivuaa ruudun reunaa, niin käykö se?
On niitä yli 6.
Annan tässä esimerkit 7:stä seuraavassa muodossa.
-Meillä on tavallinen tason koordinaatisto, joka on jaettu ruutuihin "kokonaislukujen mukaan" (Ymmärrätte varmaan mitä tarkoitan; ruutujen kulmat ovat aina kokonaislukupisteitä)
-"Ruutu on väritetty", kun annan ruudun vasemman alakulman koordinaatit.
Esimerkit tapauksista:
1. pelkästään yksi ruutu, jonka sisällä ympyrä.
2. kaksi ruutua vierekkäin (pysty- tai vaakasuoraan, en tiedä onko väliä eli sallitaanko eri tapauksiksi tälläisia symmetrioita, mutta minulla on kuitenkin 7 ei symmetristä tapausta ;)) ja niiden sisällä ympyrä.
3. ruudut: (0,1), (1,0), (2,1), (1,2) ja ympyrä: keskipiste=(1,5;1,5) säde=(sqrt2)/2
4. ruudut: (1,0), (2,0), (0,1), (0, 2), (1,3), (2,3), (3,1) (3,2) ympyrä: kp.=(2,2) säde=sqrt2
5. 2 edellisen kaltainen, mutta ruutuja kolme suuntaansa ja ympyrä: kp=(2,5;2,5) säde=1,5*sqrt2
6. taas samaa mallia 4:llä ruudulla ja ympyrä: kp=(3,3) säde=2*sqrt2
7. ruudut: (0,4), (0,3), (1,1), (2,0), (3,0), (4,1), (5,2), (5,3), (4,4), (3,5), (2,5) ja (1,4)
ympyrä: kp=(3,3) säde=sqrt3
Sitten on vielä kahdeksaskin: saman tapainen kuin 7. mutta kolmella ruudulla sivullaan ja ympyrä: kp=(3,5;3,5) säde=sqrt(17/2)
Siitä voikin sitten pohtia onko näitä äärettömästi ja miten löytyisi yleinen muoto 7. ja 8. tyyppisille ja miten todistaisi, että ehdot täyttyy...
7. ja 8. tyyppiset tapaukset lakkaa tietenkin toimimasta kun kuvion "sivun pituudeksi" otetaan yli 6 ruutua. 6 ruudussa ympyrän säde=5 ja se ylttää jo kuvion sivujen keskellä ruutujen reunoille (mutta pysyy sisällä, jos reunat kuuluvat ruutuihin, niinkuin ne mielestäni kuuluvat, eihän muuten pystyisi tekemään tälläisia kuvioita)
Seuraavaksi voisi ruveta siirtämään ruutuja reunoissa taas ulospäin, mutta nyt pitää katsoa, että ympyrän kaari ei mene ulos ruuduista.
Minä rupesin tällein pohtimaan:
Otetaan neljännes kuviosta tutkittavaksi, koska symmetrian takia voidaan tehdä näin.
Ja sitten tutkitaan tapausta n on parillinen, missä n:llä tarkoitan kuvion "sivun pituutta". Nyt kun siirrellään ruutuja sivuilla ulospäin, niin voitaisiin puhua sisäneliön sivunpituudesta, jos ymmärrätte mitä tarkoitan... ;)
Silloin ympyrän säde olisi sqrt(n 1) ja sitten jotenkin katsottaisiin, että miten sivuja "ulkoistettaisiin", jotta ympyrän kaari pysyisi ruutujen sisällä. Hmmmm... Pitää vielä kokeilla joillain luvuilla miten tuo onnistuisi.
Onko sulla itselläsi tähän vastausta, vai keksitkö itse 6.
..ympyrähän saa sivuta kuvion reunaa sisäpuolelta, mut ei saa tulla ulos kuviosta kuitenkaan.
Löydettiin kaverin kans 13 kuviota yhtenä iltana.