Lueskelin luentomonistetta, jossa Poisson-jakauman pistetodennäköisyysfunktion johtaminen on esitetty.
Loppuvaiheessa saadaan differenssiyhtälö x:n suhteen:
\frac{df(x; t)}{dt}=v[f(x-1; t)-f(x;t),
missä \frac tarkoittaa osamäärää. (Merkitsin sen LaTex-merkinnöin.)
Differenssiyhtälön ratkaisuna saadaan
f(x)=\frac{e^{-vt}(vt)^x}{x!}, x = 0, 1, 2,...
Nyt haluaisin tietää, miten tuo ratkaisu on saatu. En ole törmännyt differenssiyhtälöön aiemmin, differentiaaliyhtälöistä vähän haisua.
Vielä, jos saisin selityksen sillä tavalla, että osaisin sen selittää sitten kaverillenikin.
Kiitos!
http://math.tkk.fi/opetus/sovtoda/luennot/toddj100.pdf s. 104
Loppuvaiheessa saadaan differenssiyhtälö x:n suhteen:
\frac{df(x; t)}{dt}=v[f(x-1; t)-f(x;t),
missä \frac tarkoittaa osamäärää. (Merkitsin sen LaTex-merkinnöin.)
Differenssiyhtälön ratkaisuna saadaan
f(x)=\frac{e^{-vt}(vt)^x}{x!}, x = 0, 1, 2,...
Nyt haluaisin tietää, miten tuo ratkaisu on saatu. En ole törmännyt differenssiyhtälöön aiemmin, differentiaaliyhtälöistä vähän haisua.
Vielä, jos saisin selityksen sillä tavalla, että osaisin sen selittää sitten kaverillenikin.
Kiitos!
http://math.tkk.fi/opetus/sovtoda/luennot/toddj100.pdf s. 104
Vastaukset 2
Vanhimmat
kuinka tuollainen ratkaistaan. Wikipedian mukaan "Differenssiyhtälö on differentiaaliyhtälön diskreetti analogia. Se siis eroaa differentiaaliyhtälöstä siinä, että yhtälö on määritelty vain joissakin erillisissä pisteissä, hilassa."
http://fi.wikipedia.org/wiki/Differenssiyhtälö
Olkoon g(x,t) = v f(x-1,t), jolloin yhtälö on
df(x,t)/dt = - v f(x,t) g(x,t),
jolla on ratkaisu
f(x,t)
= exp(-v t) f(x,0) int_0^t exp(-v (t-s)) g(x,s) ds
= exp(-v t) f(x,0) int_0^t exp(-v (t-s)) v f(x-1,s) ds
Toisaalta f(0,t) = exp(-v t) ja f(x,0) = 0, kun x>0, joten saadaan
f(1,t) = int_0^t exp(-v (t-s)) v f(0,s) ds
= int_0^t v exp(-v t) ds
= v exp(-v t) t
f(2,t) = int_0^t exp(-v (t-s)) v f(1,s) ds
= int_0^t v^2 exp(-v t) s ds
= v^2 exp(-v t) t^2/2
f(3,t) = int_0^t exp(-v (t-s)) v f(2,s) ds
= int_0^t v^3 exp(-v t) s^2/2 ds
= v^3 exp(-v t) t^3/2/3
josta nähdäänkin jo yleisempi kaava
f(x,t) = (v t)^x exp(-v t) / x!
Sen jälkeen induktiota peliin.