Pähkinä

Ajatellaanpa muodostettavaksi astroidi samalla tavalla, kuin tuolla Wolframin sivulla tehdään pyörittämällä pientä ympyrää liukumatta ison ympyrän sisällä. Pienen ympyrän ympärysmitan tulee olla neljännes ison ympyrän ympärysmitasta.

Valitaan tämän jälkeen uusi pieni ympyrä, jonka ympärysmitta on puolestaan neljäsosa astroidin kaaren kokonaispituudesta ja muodostetaan uusi kuvio pyörittämällä sitä vastaavalla tavalla asroidin kaaren ulkopuolella. Näin saadaan kuvio, joka lienee lähellä alkuperäistä isoa ympyrää olematta kuitenkaan sama tai edes ympyrä (?).

Tämän jälkeen sen sisälle piirretään jälleen uusi kuvio vastaavalla tekniikalla. Näin jatketaan muodostamalla uusia kuvioita pyörittämällä sopivan kokoista pienempää ympyrää vuorotellen kuvion ulko- ja sisäpuolella.

Kysymys kuuluu, iteroituuko tällainen prosessi?
Saadaanko lopulta ratkaisuksi kaksi vakiokuviota, isompi ja pienempi, jotka saadaan toisistaan edellä kuvatulla tavalla? Mitkä ovat näiden kuvioiden kaavat? Entä mitkä ovat niiden perusominaisuudet, pinta-alat ja kaaren pituudet?

Huom. Ratkaisua pohdittaessa voidaan tietysti rajoittua tason ensimmäiseen neljännekseen, koska muissa kuvio oletetaan samanlaiseksi.

Haastetta kerrakseen?

astroidista kirjoitti:

Ajatellaanpa muodostettavaksi astroidi samalla tavalla, kuin tuolla Wolframin sivulla tehdään pyörittämällä pientä ympyrää liukumatta ison ympyrän sisällä. Pienen ympyrän ympärysmitan tulee olla neljännes ison ympyrän ympärysmitasta.

Valitaan tämän jälkeen uusi pieni ympyrä, jonka ympärysmitta on puolestaan neljäsosa astroidin kaaren kokonaispituudesta ja muodostetaan uusi kuvio pyörittämällä sitä vastaavalla tavalla asroidin kaaren ulkopuolella. Näin saadaan kuvio, joka lienee lähellä alkuperäistä isoa ympyrää olematta kuitenkaan sama tai edes ympyrä (?).

Tämän jälkeen sen sisälle piirretään jälleen uusi kuvio vastaavalla tekniikalla. Näin jatketaan muodostamalla uusia kuvioita pyörittämällä sopivan kokoista pienempää ympyrää vuorotellen kuvion ulko- ja sisäpuolella.

Kysymys kuuluu, iteroituuko tällainen prosessi?
Saadaanko lopulta ratkaisuksi kaksi vakiokuviota, isompi ja pienempi, jotka saadaan toisistaan edellä kuvatulla tavalla? Mitkä ovat näiden kuvioiden kaavat? Entä mitkä ovat niiden perusominaisuudet, pinta-alat ja kaaren pituudet?

Huom. Ratkaisua pohdittaessa voidaan tietysti rajoittua tason ensimmäiseen neljännekseen, koska muissa kuvio oletetaan samanlaiseksi.

Haastetta kerrakseen?

kun näin tuon animaation.. Ongelma taitaa olla siinä, että kuvio kasvaa rajatta koska käyrän pituus kasvaa.

Clamtrox kirjoitti:

kun näin tuon animaation.. Ongelma taitaa olla siinä, että kuvio kasvaa rajatta koska käyrän pituus kasvaa.

kasvaa.

Alkuperäisen ympyrän kaaren kokonaispituushan on 2*pii*a (likim. 6.28*a), mutta astroidin 6a. Jo toisessa iteroinnissa kiertävän pikkuympyrän säde on siis kutistunut. Tästä seuraa, että uusi 'ulkokehä' tulee ehkä olemaan kokonaan (tai ainakin suurimmaksi osaksi) alkuperäisen 'ulkoympyrän' sisällä jne.

että kuvio kirjoitti:

kasvaa.

Alkuperäisen ympyrän kaaren kokonaispituushan on 2*pii*a (likim. 6.28*a), mutta astroidin 6a. Jo toisessa iteroinnissa kiertävän pikkuympyrän säde on siis kutistunut. Tästä seuraa, että uusi 'ulkokehä' tulee ehkä olemaan kokonaan (tai ainakin suurimmaksi osaksi) alkuperäisen 'ulkoympyrän' sisällä jne.

heti kun pistät ympyrän astroidin ulkopuolelle ja piirrät viivan, saat ihan varmasti pidemmän viivan kuin alkuperäinen...

Toisaalta sisäpuolella kuvio menee melkoisen sotkuiseksi heti kun viivat alkavat leikata toisiaan, joten tämä idea lienee ns. kuopattuna syntynyt.

Clamtrox kirjoitti:

heti kun pistät ympyrän astroidin ulkopuolelle ja piirrät viivan, saat ihan varmasti pidemmän viivan kuin alkuperäinen...

Toisaalta sisäpuolella kuvio menee melkoisen sotkuiseksi heti kun viivat alkavat leikata toisiaan, joten tämä idea lienee ns. kuopattuna syntynyt.

näytä lainkaan ilmeiseltä. Kysymyshän ei ole siitä, että tuon kakkosvaiheen pikkuympyrän jokin osa menee alkuperäisen ympyrän ulkopuolelle. Se kiertävä piste tässä on oleellinen ja minun mielestäni se näyttäisi hyvinkin pysyvän sisäpuolella.

... näe suoraan kaavan (21) perusteella, että kysytty suhde on 3/8?

XYZPQ kirjoitti:

... näe suoraan kaavan (21) perusteella, että kysytty suhde on 3/8?

Kiitos, heleppoo ku heinänteko!

väittesi ei kyllä kirjoitti:

näytä lainkaan ilmeiseltä. Kysymyshän ei ole siitä, että tuon kakkosvaiheen pikkuympyrän jokin osa menee alkuperäisen ympyrän ulkopuolelle. Se kiertävä piste tässä on oleellinen ja minun mielestäni se näyttäisi hyvinkin pysyvän sisäpuolella.

se edelleen minusta vaikuttaa ilmeiseltä.. Jos ympyrän säde kasvaa eksponentiaalisesti iterointikertojen funktiona, on ihan varmaa, ettei kuvio suppene mitään tiettyä raja-arvoa kohti.

!!!!

... eka vastauksen linkki!