Onko totta, että eksponenttifunktiosta tulee aina positiivinen tulos? Näin minulle väitettiin. Mitä jos kantaluku on negatiivinen ja eksponentti pariton? Eikö silloin muka tule negatiivista tulosta?? Ihmettelen kovin.
Eksponenttifunktiosta
Hmmmm...
111043
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 11
Vanhimmat
Ainakaan, jos on Wikiä uskominen:
http://fi.wikipedia.org/wiki/Eksponenttifunktio
eksponenttifunktio:
f(x) = e^(ax)
Aina positiivinen.
Jos x=0, niin e^0=1.
Siitä alkaa kasvamaan.
Jos x= -ääretön, niin silloin exp lähestyy nollaa positiiviselta puolelta.
Eksponenttifunktio on e^x, joka on positiivinen kaikilla reaalisilla x. Toki vaikkapa (-1)^1=-1, mutta tämä ei olekaan eksponettifunktio, sillä e!=-1.
Tämän tyyppisiin kysymyksiin löytää vastauksen, kun miettii ongelmallisten käsitteiden määritelmiä. Eksponenttifunktioiksi kutsutaan muotoa f(x) = a^x olevia funktioita, jossa a >= 0. Ei siis ole edes olemassa sellaista eksponenttifunktiota, jonka kantaluku olisi negatiivinen.
Tämä määritelmä johtuu tietenkin siitä, että potenssiinkorotusta ei voi yleisesti määritellä negatiivisen kantaluvun tapauksessa.
Kiitos vastanneille. Vielä olisi kysyttävää: matematiikan kirjassani tuli vastaan seuraava virke: "(--) funktio e^x kasvaa nopeammin, kuin mikään potenssifunktio, kun x lähestyy ääretöntä."
Miten ihmeessä e^x kasvaisi nopeammin kuin mikään muu potenssifunktio, kun x lähestyy ääretöntä? Eikö suurempi kantaluku funktiosssa kasvattaisi nopeammin, esim. 5^x?
Toki 5^x kasvaa nopeammin. Siinä varmaan halutaan sanoa, että se kasvaa nopeammin kuin mikään polynomi. Tai termi muotoa x^n, jossa n on joku vakio. On toki mahdollista, että kirjan sanastossa "potenssifunktio" tarkoittaa termiä muotoa x^n eikä n^x. Muualla tuo taitaa hieman vaihdella.
"Miten ihmeessä e^x kasvaisi nopeammin kuin mikään muu potenssifunktio, kun x lähestyy ääretöntä? Eikö suurempi kantaluku funktiosssa kasvattaisi nopeammin, esim. 5^x?"
Eksponenttifunktiot ja potenssifunktiot ovat kaksi eri funktiotyyppiä. Eksponenttifunktio on muotoa f(x) = a^x, jossa a > 0. Potenssifunktio on muotoa f(x) = x^a, jossa a on reaaliluku. Siis 5^x ei ole potenssifunktio ensinkään.
Mutta tässähän 5>0, eli miksei f(x)=a^x missä a=5 käy tähän määritelmään?
Henkilö ihmetteli, miksi sanotaan eksponenttifunktion kasvavan potenssifunktiota nopeammin, kun kumminkin 5^x kasvaa nopeammin kuin e^x. Toki 5^x kasvaa tietyssä mielessä nopeammin kuin e^x, mutta sepä ei olekaan potenssifunktio. x^5 olisi potenssifunktio, mutta 5^x on eksponenttifunktio.
Kompleksiluvuilla eksponenttifunktiosta tulee myös negatiivisia lukuja:
exp(i π) = -1
jossa i on imaginääriyksikkö i²=-1 ja π=3.14159265...
Samoin jos exp(X):ssä X on matriisi, tuloksen alkiot voivat olla negatiivisia. Esimerkiksi
exp([0 pi; -pi 0]) = [-1 0; 0 -1]
Eksponenttifunktio on määritelty siten että kantaluvun täytyy aina olla positiivinen.
Negatiivisella kantaluvulla funktiolle ei nimittääin aina löytyisi yksikäsitteistä arvoa. Katso siiis määritelmää!