Aion täydentää matikan muinaisema cumu-tasoisena tilastotieteen approa nyt eläkkeellä. Vähän valmistaudun etukäteen, mutta tästä en oikein saa kiinni.
x ja y ovat normaalijakautuneita satunnaismuuttujia, joilla on samat odotusarvot ja varianssit. Muodostetaan muuttuja z = x - y. Mikä on x:n ja z:n välinen korrelaatio?
Arvaan, ettei tuossa tarvitsisi raahata mukana normaalijakauman tiheysfunktiota, kunhan tietäisi jonkun yksinkertaistavan jipon. Onks tietoo :-)?
x ja y ovat normaalijakautuneita satunnaismuuttujia, joilla on samat odotusarvot ja varianssit. Muodostetaan muuttuja z = x - y. Mikä on x:n ja z:n välinen korrelaatio?
Arvaan, ettei tuossa tarvitsisi raahata mukana normaalijakauman tiheysfunktiota, kunhan tietäisi jonkun yksinkertaistavan jipon. Onks tietoo :-)?
Vastaukset 2
Vanhimmat
x ja y ovat toisistaan riippumattomia.
Tällöin ratkaisu menisi suunnilleen seuraavasti:
Cor(x,z)= Cor(x,x-y)
= Cov(x,x-y)/(Dx*D(x-y))
=(E(x(x-y))-E(x)E(x-y))/(Dx*D(x-y))
=(E(x^2-xy)-E(x)E(x-y))/(Dx*D(x-y))
=(E(x^2)-E(xy)-E(x)(E(x)-E(y)))/(Dx*D(x-y))
=(E(x^2)-E(xy)-E(x)^2-E(x)E(y))/(Dx*D(x-y))
=((E(x^2)-E(x)^2)-(E(xy)-E(x)E(y)))/(Dx*D(x-y))
=(V(x)-0)/(Dx*D(x-y))
=(V(x)/(sqrt(Vx)*sqrt(2*Vx))
=1/sqrt(2)
E = odotusarvo
Cor = korrelaatiokerroin
Cov = kovarianssi
V = Varianssi
D = keskihajonta
Yksityiskohdat kannattaa käydä läpi vaihe vaiheelta. Itsellänikin on noista tilastotieteen opinnoista jo yli kaksikymmentä vuotta aikaa kulunut
... riippumattomuusoletuksella. Tiheysfunktioita ei tarvitse ollenkaan, kun muistaa odotusarvo- ja varianssioperaattorin laskusäännöt.
Itse ratkaisin tehtävän vähän suoraviivaisemmin: E(z) = 0, mistä johtuen Cov (x,z) = V(x). Tulos on todella 1/sqrt(2) = sqrt(2)/2, eli noin 0.7.
Jos x ja y ovat riippuvia, pitäisi tuosta vähentää vielä 2Cov(x,y).
Aika näppärä tehtävä muuten operaattoreiden laskusääntöjen harjoitteluun.