Täytetään oheisen 4x4 -ruutuisen taulukon mukaisesti 100x100 -ruutuinen taulukko. Mikä on saatuun taulukkoon kirjoitettujen lukujen summa?
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
4 5 6 7
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
4 5 6 7
Summapähkinä
Riemann
13629
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 13
Vanhimmat
Summa on 100^3.
Keikautetaan tuo 100 x 100 matriisi vasemmalta alhaalta oikealle ylhäälle menevän päädiagonaalin ympäri. Lasketaan näin saatu matriisi alkioittain yhteen alkuperäisen kanssa. Saadaan 100 x 100 matriisi, jossa jokainen alkio on 200. Tämän matriisin alkioiden summa on 200*100*100, josta puolet, eli 100^3 on alkuperäisen matriisin alkioiden summa.
Näinköhän nkorppikin tämän ratkaisi?
... luultavasti löytyisi joku tuollainen kaunis kikka, mutta ratkaisin sen itse suoraan näin:
Otetaan n*n - matriisi, joka on muodostettu kuten esimerkissä.
Mainitsemasi diagonaali rajaa kaksi 'kolmiota' -- ylemmässä kolmiossa, diagonaali mukaan lukien, luku k esiintyy täsmälleen k kertaa, missä k vaihtelee välillä 1...n
Alemmassa kolmiossa luku 2n-k esiintyy k kertaa, missä k vaihtelee välillä 1...n-1
Eli saamme:
SUMMA_{k=1...n} (k^2) SUMMA_{k=1...n-1} k(2n-k)
= n^2 2n * (n-1)n/2 (aritmeettinen summa)
= n^3
... ratkaisu on matemaattisesti identtinen, vaikkakin esitystapasi on tietysti kauniimpi.
kauniita ratkaisuja.
Itse päädyin tuohon ratkaisutapaan, kun pysähdyin hetkeksi miettimään, miten 'matemaatikoiden kuningas' Carl Friedrich Gauss olisi tuon tehtävän ratkaissut.
Gaussistahan kerrotaan hänen kouluajoiltaan tarinaa, jonka mukaan opettaja oli pyytänyt luokkaa laskemaan yhteen luvut 1,2,...,100, tarkoituksenaan ilmeisesti saada luokka hiljaiseksi tunnin ajaksi. Tuskin opettaja oli tehtävän luokalle esittänyt, kun Gauss oli laskenut rihvelitaulunsa nurinpäin käännettynä pulpetilleen. Tunnin loputtua opettaja oli tarkastanut oppilaiden tulokset, joista ainoastaan Gaussin taulussa oli ollut oikea vastaus... Ja mitenkäs Gauss tämän probleeman ratkaisikaan...?
Meikä alotti miettimään täysin samalta kannalta kuin sinä. Gausinin kaunis tarina voi viedä pitkälle :D
varmaankin Marilyn vos Savant, maailman älykkäimmäksi mainittu ihminen.
Tiikeri tunnetaan kynsistään.
... että pellet lähettävät palstalle "niksikirjojen" tehtäviä, joiden tuloksen voi itsekin lukea kirjasta?
Minua nämä ainakin viihdyttävät.
Minusta on mielenkiintoista nähdä josko ihmiset tarjoavat erilaisia ratkaisuja esitettyihin ongelmiin. Vastaus on mielenkiinnoton, ratkaisumetodi kiinnostaa sitten senkin edestä.
Olen täysin samaa mieltä. Yllä olevat ratkaisut ovat tuloksen kannalta identtiset. Kysymys onkin jatkuvuudesta eli kuinka saadaan sellainen kaava, jolla voidaan laskea kaikki AxA matriisit. Ratkaisu on kiva, mutta yleistäminen on vieläkin kivempaa.
eka pystyrivin summa 100*(1 100)/2=5050
toka pystyrivin summa 100*(2 101)/2=5150
kolm pystyrivin summa 100*(3 102)/2=5250
.
.
.
viim pystyrivin summa 100*(100 199)/2=14950
kaikkien pystyrivien yhteissumma
100*(5050 14950)/2=100*10000=1000 000
Ratkaisin sen Gausinia mukaillen siten, että koska ensimmäisen ja viimeisen alkion luvut ovat 1 ja 199 nyt, kun siirrämme 99 -> 1 99=100 ja jatkamme näin kaikille alkoille, siten että otamme aina alkion käännetyn pelikuvan mukaisen alkion. Lopussa meillä on matriisi jossa jokaisen alkion arvo on 100 ja näin saadaan 100*100*100.
Ongelma tämän ratkaisun on, että siitä ei voi tehdä suoraan yleistystä. Sen takia pidän kysyjän ratkaisusta erityisesti.