Kyselin jo tuolla aikaisemmin ratkaisua seuraavaan pulmaan (mutta en ymmärtänyt ratkaisua), joten yritin itse edes päästä alkuun. Viitsisikö joku osaavampi kertoa meneekö ihan metsään ja miten voisi jatkaa...
Siis: Autokoulun kirjallisissa kokeissa on 100 monivalintatehtävää. Jokaisessa tehtävässä on kolme vastausvaihtoehtoa, joista vain yksi on oikea. Ajokokeeseen pääseminen edellyttää, että kirjallisissa on vähintään 50 tehtävää sadasta oikein. Jos kaikkiin tehtäviin vastaa pelkästään arvaamalla, niin millä todennäköisyydellä pääsee inssiin?
Ja aloitin näin:
X~BIN (n,p)
n = toistojen määrä
p = oikean vastauksen todennäköisyys
p = 0,33
q = 0,67 (väärä vastaus)
n = 100
Oikeiden odotusarvo E(X) = np = 33
varianssi: D2(x)=npq= 100x0,33x0,67 = 22,11
keskihajonta = 4,702
... ja tähän sitten tyssäsi. Vai oliko edes alku oikein?
Siis: Autokoulun kirjallisissa kokeissa on 100 monivalintatehtävää. Jokaisessa tehtävässä on kolme vastausvaihtoehtoa, joista vain yksi on oikea. Ajokokeeseen pääseminen edellyttää, että kirjallisissa on vähintään 50 tehtävää sadasta oikein. Jos kaikkiin tehtäviin vastaa pelkästään arvaamalla, niin millä todennäköisyydellä pääsee inssiin?
Ja aloitin näin:
X~BIN (n,p)
n = toistojen määrä
p = oikean vastauksen todennäköisyys
p = 0,33
q = 0,67 (väärä vastaus)
n = 100
Oikeiden odotusarvo E(X) = np = 33
varianssi: D2(x)=npq= 100x0,33x0,67 = 22,11
keskihajonta = 4,702
... ja tähän sitten tyssäsi. Vai oliko edes alku oikein?
Vastaukset 6
Vanhimmat
Jookosta?
Kysymyksenähän on millä tod.näk. pääsee inssiin eli saa vähintään 50 tehtävää (sadasta) oikein.
Kyllä sinulla tuo alku on ihan oikein, mutta noita variansseja ja odotusarvoja ei tässä tehtävässä tarvittane...
Tähän tarvitaan binomijakauman pistetod.näk. kaavaa:
P_k=(n yli k:n)p^k(1-p)^(n-k)
Muodosta satunnaismuuttuja X="oikein saatujen tehvävien lukumäärä".
Nyt voitkin laskea tod.näk. P(X>=50). Aika monta termiä vain joudut laskemaan (50 kpl)
Eli P(X>=50)=P(X=50) P(X=51) ... P(X=100).
binomijakauman approksimaationa.
Todennäköisyyslaskennan keskeisen raja-arvolauseen mukaan tämäkin todennäköisyysjakauma lähestyy normaalijakaumaa kokeiden (tässä 100 kpl) määrän lähestyessä ääretöntä.
Tällaisten äärimmäisten reunatodennäköisyyksien laskemiseen normaalijakauma-approksimaatio ei kuitenkaan sovellu.
Sinun olisi nyt tällaisten pohdintojen sijasta varmaankin syytä keskittyä varsinaisten autokoulun opintomateriaalien lukemiseen.
Jos nimittäin osaat varmuudella vastata joka neljänteen kysymykseen ja loput pistät arvaamalla, niin lopputuloksen odotusarvo on tuo 50 tehtävää oikein sadasta ja mahdollisuutesi päästä läpi alkavat olla 50-50.
Tämähän on kuin 100 kohteinen vakioveikkaus, jossa
kaikki ottelut ovat "ympäripyöreitä".
Asian ymmärtämiseksi kannattaisi harjoitella laskeskelemaan
vakioveikkauksen merkkiyhdistelmiä ja yllätyssysteemejä.
Seuraavana laskuharjoitusten tueksi vakionveikkauksen
tulosmahdollisuudet, oikeassa reunassa oleva prosenttiluku
osoittaa "vähintään kyseisen tuloksen mahdollisuutta" :
13 oikein 1 / 1594323 , 0,000062722547%
12 oikein 26 / 1594323 , 0,001693508781%
11 oikein 312 / 1594323 , 0,021262943582%
10 oikein 2288 / 1594323 , 0,164772132121%
9 oikein 11440 / 1594323 , 0,882318074819%
8 oikein 41184 / 1594323 , 3,465483468532%
7 oikein 109824 / 1594323 , 10,353924518432%
6 oikein 219648 / 1594323 , 24,130806618232%
5 oikein 329472 / 1594323 , 44,796129767933%
4 oikein 366080 / 1594323 , 67,757599934267%
3 oikein 292864 / 1594323 , 86,126776067334%
2 oikein 159744 / 1594323 , 96,146326685371%
1 oikein 53248 / 1594323 , 99,486176891383%
0 oikein 8192 / 1594323 , 100,%
Sitten itse asiaan, eli autokoulutapaukseen.
100 oikein eli 0 väärin todennäköisyys:
1 / (3 ^ 100) = 1 / 5,1537752073201133103646112976562e+47
99 oikein eli 1 väärin todennäköisyys:
((100) / (1)) * (2 ^ 1)) / (3 ^ 100) = 200 / (3 ^ 100)
98 oikein eli 2 väärin todennäköisyys:
((100*99) / (1*2)) * (2 ^ 2) / (3 ^ 100) = 19800 / (3 ^ 100)
97 oikein eli 3 väärin todennäköisyys:
((100*99*98) / (1*2*)) * (2 ^ 3) / (3 ^ 100) = 1 293 600 / (3 ^ 100)
jne...
Alla kaikki tapaukset, äärimmäisenä oikealla "prosenttisumma",
josta näemme mm. sen, että vähintään 50 oikein tuloksen saamisen
mahdollisuusprosentti on 0.04%. (Tämähän tuolla "alkuperäisessä"
ketjussa jo eräässä vastauksessa todettiin.)
100 oikein 1 / (3 ^100) , 0,%
99 oikein 200 / (3 ^100) , 0,%
98 oikein 19800 / (3 ^100) , 0,%
97 oikein 1293600 / (3 ^100) , 0,%
96 oikein 62739600 / (3 ^100) , 0,%
95 oikein 2409200640 / (3 ^100) , 0,%
94 oikein 76291353600 / (3 ^100) , 0,%
93 oikein 2048967782400 / (3 ^100) , 0,%
92 oikein 47638500940800 / (3 ^100) , 0,%
91 oikein 973942685900800 / (3 ^100) , 0,%
90 oikein 1.77257568833946E+16 / (3 ^100) , 0,%
89 oikein 2.90057839910093E+17 / (3 ^100) , 0,%
88 oikein 4.30252462533304E+18 / (3 ^100) , 0,%
87 oikein 5.8249564158355E+19 / (3 ^100) , 0,%
86 oikein 7.2395886882527E+20 / (3 ^100) , 0,%
85 oikein 8.30139502919643E+21 / (3 ^100) , 0,%
84 oikein 8.8202322185212E+22 / (3 ^100) , 0,%
83 oikein 8.71646478065625E+23 / (3 ^100) , 0,%
82 oikein 8.03851751993854E+24 / (3 ^100) , 0,%
81 oikein 6.93850985931537E+25 / (3 ^100) , 0,%
80 oikein 5.62019298604545E+26 / (3 ^100) , 0,%
79 oikein 4.28205179889177E+27 / (3 ^100) , 0,%
78 oikein 3.07529174647682E+28 / (3 ^100) , 0,%
77 oikein 2.0858500541321E+29 / (3 ^100) , 0,%
76 oikein 1.33842045140143E+30 / (3 ^100) , 0,%
75 oikein 8.13759634452071E+30 / (3 ^100) , 0,%
74 oikein 4.69476712183887E+31 / (3 ^100) , 0,%
73 oikein 2.57342790382279E+32 / (3 ^100) , 0,%
72 oikein 1.34185883556474E+33 / (3 ^100) , 0,%
71 oikein 6.66302318349388E+33 / (3 ^100) , 0,000000000002%
70 oikein 3.15383097352044E+34 / (3 ^100) , 0,000000000008%
69 oikein 1.42431076223504E+35 / (3 ^100) , 0,000000000035%
68 oikein 6.14234016213859E+35 / (3 ^100) , 0,000000000155%
67 oikein 2.53138867288136E+36 / (3 ^100) , 0,000000000646%
66 oikein 9.97664947547359E+36 / (3 ^100) , 0,000000002582%
65 oikein 3.7626220878929E+37 / (3 ^100) , 0,000000009882%
64 oikein 1.35872464285021E+38 / (3 ^100) , 0,000000036246%
63 oikein 4.70045281850885E+38 / (3 ^100) , 0,00000012745%
62 oikein 1.55857119771609E+39 / (3 ^100) , 0,000000429863%
61 oikein 4.95545714145629E+39 / (3 ^100) , 0,000001391383%
60 oikein 1.51141442814417E+40 / (3 ^100) , 0,000004324019%
59 oikein 4.4236519848122E+40 / (3 ^100) , 0,000012907342%
58 oikein 1.24283555763771E+41 / (3 ^100) , 0,000037022394%
57 oikein 3.35276569037151E+41 / (3 ^100) , 0,000102076952%
56 oikein 8.68671110687163E+41 / (3 ^100) , 0,000270627398%
55 oikein 2.16202587548805E+42 / (3 ^100) , 0,000690130731%
54 oikein 5.17006187616708E+42 / (3 ^100) , 0,001693290875%
53 oikein 1.18801421835329E+43 / (3 ^100) , 0,003998424821%
52 oikein 2.62353139886351E+43 / (3 ^100) , 0,009088928953%
51 oikein 5.56831154044499E+43 / (3 ^100) , 0,019893264254%
50 oikein 1.13593555425078E+44 / (3 ^100) , 0,041934108267%
49 oikein 2.227324616178E+44 / (3 ^100) , 0,08515144947%
48 oikein 4.19765023818161E+44 / (3 ^100) , 0,166599515584%
47 oikein 7.60329099746103E+44 / (3 ^100) , 0,314128088166%
46 oikein 1.32353584029877E+45 / (3 ^100) , 0,570937084883%
45 oikein 2.21391449649976E+45 / (3 ^100) , 1,000508497574%
44 oikein 3.55807686937462E+45 / (3 ^100) , 1,690891125113%
43 oikein 5.49317130710467E+45 / (3 ^100) , 2,756745006226%
42 oikein 8.14504711053452E+45 / (3 ^100) , 4,337149036841%
41 oikein 1.15963382590661E+46 / (3 ^100) , 6,587215792294%
40 oikein 1.5848328954057E+46 / (3 ^100) , 9,662307024745%
39 oikein 2.07846937102387E+46 / (3 ^100) , 13,695213559108%
38 oikein 2.61484856354616E+46 / (3 ^100) , 18,768870166855%
37 oikein 3.15442048935727E+46 / (3 ^100) , 24,889471788899%
36 oikein 3.64729869081934E+46 / (3 ^100) , 31,966417414387%
35 oikein 4.04008470367681E+46 / (3 ^100) , 39,805495645697%
34 oikein 4.28493832208146E+46 / (3 ^100) , 48,119669527389%
33 oikein 4.34889262539611E+46 / (3 ^100) , 56,55793555657%
32 oikein 4.22098401876682E+46 / (3 ^100) , 64,748017290774%
31 oikein 3.9151156116098E+46 / (3 ^100) , 72,344614841341%
30 oikein 3.46767382742582E+46 / (3 ^100) , 79,073029814699%
29 oikein 2.93042858655703E+46 / (3 ^100) , 84,759014299228%
28 oikein 2.36062302805983E+46 / (3 ^100) , 89,339390689543%
27 oikein 1.81088889823768E+46 / (3 ^100) , 92,853104084853%
26 oikein 1.32145946628155E+46 / (3 ^100) , 95,41716521116%
25 oikein 9.16211896621875E+45 / (3 ^100) , 97,194914258733%
24 oikein 6.02770984619654E+45 / (3 ^100) , 98,364486000557%
23 oikein 3.75753341061603E+45 / (3 ^100) , 99,093569683772%
22 oikein 2.21598124215817E+45 / (3 ^100) , 99,523542112335%
21 oikein 1.23421740069569E+45 / (3 ^100) , 99,763020426978%
20 oikein 6.47964135365237E+44 / (3 ^100) , 99,888746542165%
19 oikein 3.19982289069253E+44 / (3 ^100) , 99,950833512628%
18 oikein 1.48284475422337E+44 / (3 ^100) , 99,97960552333%
17 oikein 6.43161580145075E+43 / (3 ^100) , 99,992084949659%
16 oikein 2.60327306249197E+43 / (3 ^100) , 99,99713614603%
15 oikein 9.80055741173447E+42 / (3 ^100) , 99,999037772899%
14 oikein 3.41879909711668E+42 / (3 ^100) , 99,99970113111%
13 oikein 1.10030315769272E+42 / (3 ^100) , 99,999914625706%
12 oikein 3.25089569318305E+41 / (3 ^100) , 99,999977703655%
11 oikein 8.76646029622395E+40 / (3 ^100) , 99,999994713439%
10 oikein 2.14291251685474E+40 / (3 ^100) , 99,999998871386%
9 oikein 4.70969783924119E+39 / (3 ^100) , 99,999999785221%
8 oikein 9.21462620721103E+38 / (3 ^100) , 99,999999964014%
7 oikein 1.58531203564921E+38 / (3 ^100) , 99,999999994774%
6 oikein 2.36110303181797E+37 / (3 ^100) , 99,999999999356%
5 oikein 2.98244593492796E+36 / (3 ^100) , 99,999999999934%
4 oikein 3.10671451554996E+35 / (3 ^100) , 99,999999999995%
3 oikein 2.56223877571131E+34 / (3 ^100) , 100,%
2 oikein 1.56871761778243E+33 / (3 ^100) , 100,%
1 oikein 6.33825300114115E+31 / (3 ^100) , 100,%
0 oikein 1.26765060022823E+30 / (3 ^100) , 100,%
Ylläolevassa viestissäni on pari lipsausta, järjestäkäämme siis etsintäkilpailu.
Joka huomaa puuttuvan kolmosen saa 9 pistettä, ylimääräisen n-kirjaimen löytäjälle 8 pistettä.
Kaikkien muiden virheiden löytäjälle 10 pistettä jokaisesta löytyneestä virheestä.
Parhaan tuloksen saavuttajan palkinnee joulupukki.
joko joulupukin muija tai sitten joku nätti täysi-ikäinen tonttutyttö.