Käsitykseni mukaan nykyisin on matematiikan opetuksessa yleistynyt erilaisten 'aasinsiltojen' käyttö.
Kun matematiikkaa ymmärtämättömien kasvatustieteilijöiden vaatimuksesta vaikeiden todistusten esittäminen on matematiikan opettajilta lähes kokonaan kielletty, mutta asiat pitäisi kuitenkin kyetä jotenkin perustelemaan, on tavaksi tullut esittää käsiteltäville asioille jonkinlaisia todellisuudessa täysin vailla todistusvoimaa olevia näennäisperusteluja, ts. näitä aasinsiltoja. Yhtenä syynä tähän lienee se, että todistustekniikoiden läpikäynnistä on kokonaan luovuttu, mutta erittäin merkittävänä näkisin myös nykyisten matematiikan opettajien erittäin vaihtelevan oman osaamisen tason.
Usein nämä aasinsillat ovat täysin harhaanjohtavia ja vaikeuttavat asioiden oikeaa omaksumista mahdollisissa myöhemmissä matematiikan opinnoissa.
Tuleeko teille mieleen mielenkiintoisia esimerkkejä oman opintienne varrelta?
Löytyykö esimerkejä 'pedagogisista lähtökohdista' kirjoitetuista matematiikan oppikirjoista ja/tai populaarikirjallisuuden alaan luettavista 'matematiikan kirjoista'?
Huuhaa-perustelut esiin!
Kun matematiikkaa ymmärtämättömien kasvatustieteilijöiden vaatimuksesta vaikeiden todistusten esittäminen on matematiikan opettajilta lähes kokonaan kielletty, mutta asiat pitäisi kuitenkin kyetä jotenkin perustelemaan, on tavaksi tullut esittää käsiteltäville asioille jonkinlaisia todellisuudessa täysin vailla todistusvoimaa olevia näennäisperusteluja, ts. näitä aasinsiltoja. Yhtenä syynä tähän lienee se, että todistustekniikoiden läpikäynnistä on kokonaan luovuttu, mutta erittäin merkittävänä näkisin myös nykyisten matematiikan opettajien erittäin vaihtelevan oman osaamisen tason.
Usein nämä aasinsillat ovat täysin harhaanjohtavia ja vaikeuttavat asioiden oikeaa omaksumista mahdollisissa myöhemmissä matematiikan opinnoissa.
Tuleeko teille mieleen mielenkiintoisia esimerkkejä oman opintienne varrelta?
Löytyykö esimerkejä 'pedagogisista lähtökohdista' kirjoitetuista matematiikan oppikirjoista ja/tai populaarikirjallisuuden alaan luettavista 'matematiikan kirjoista'?
Huuhaa-perustelut esiin!
Vastaukset 13
Vanhimmat
Ylä-asteella meille perusteltiin pythagoraan lausetta x^2 y^2 = z^2 piirtämällä jokaisen kolmion sivulle neliön muotoiset alueet, jonka sivuna oli kolmion sivu. Ja koska kateettien viereen syntyvät pinta-alat ovat yhtä suuret (tapaus 3, 4, 5) yhteensä kuin hypotenuusan viereen syntyvä, niin lause pätee.
Muistan keskustelun vieläkin päivänselvästi kun erehdyin tätä todistusta ääneen epäilemään...
tavalla ei mielestäni ole mikään aasinsilta vaan täysin pätevä geometrinen todistus. Ehkä opettajasi ei ole osannut tai viitsinyt täysin yksityiskohtaisesti perustella sitä, vaan sinulle on jäänyt jokin kohta epäselväksi?
Tälläkö tasolla tässä liikutaan?
Tuota samaa todistusta tai perustelua käytettiin myös minun kouluaikanani. Taitaapa tuohon perusteluun käytetty kuva löytyä aika monen muunkin koulun matematiikan luokan seinältä.
Hieman tuntuu että väitteen A todistaminen olettamalla A ja toteamalla A->A päteväksi ei ole aivan vedenpitävää päättelyä...
Onko tämä todellakin täysin kelvollinen todistus? En saa nyt ajatukselta rauhaa.
Piirretään neliöt kolmion sivuille ja todetaan, että koska pienempien neliöiden summa on isoimman neliön ala, niin lause pätee? Minun silmissäni tuo väitteet ovat täysin yhdenpitävät, eihän siinä todisteta yhtään mitään - puetaan vain väite toiseen muotoon ja perustellaan sitä sillä?
*JOS* olisi todistettu jotenkin geometrisesti, *ETTÄ* pienempien neliöiden alat ovat yhteensä isoimmat neliön ala, *NIIN* silloin voitaisiin puhua todistuksesta. Eihän tuossa ole muuten järjen hiventä.
Ja esimerkin vuoksi todistan Fermatin suuren lauseen erikoistapauksen. Väitehän on että a^3 b^3 != c^3 kaikilla kokonaisluvuilla a, b ja c. Nyt piirretään kolme kuutiota, sivuina a, b ja c. Nyt koska a:n ja b:n tilavuuksien summa ei ole c:n tilavuus väite pätee... Tuloksen voisi myös yleistää. Koska se ei päde potenssille kolme, niin se ei päde isommillekaan potensseilla, koska a^n b^n != c^n. Olipas helppoa.
Pitäisi kai mieluummin puhua osoittamisesta kuin todistukseta ankarassa mielessä. P:n alkuperäinen ongelma liittyi kolmioon, jonka ominaisuuksia ei vielä tunnettu, neliön tunnettiin!
Tottakai voidaan johtaa mikä tahansa todistus taaksepäin, ja sanoa, että tautologiahan tässä on.
Yritäpä laskuharjoituksena Wilesin todistusta takaperin Fermat'n suurelle lauseelle, kun siihen vertaat! Tai yritä osoittaa P:n lause vääräksi tasossa!
Selvä juttu. Piirretään suorakulmainen kolmio. Tämän jälkeen piirretään jokaisen sivun kohdalle se neliö. Näiden neliöiden alat ovat päivänselvästi a^2, b^2 ja c^2. Nyt koska a^2 b^2=c^2, pythagoraan lause selvästi pätee. Mitenkään ei tarvitse todistaa mitään relaatiota noiden alojen välille, sehän nähdään suoraan niistä neliöistä että kahden pienemmän alan summa on isomman ala. Tarvitsee vain ja ainoastaan piirtää ne neliöt, se todistaa lauseen.
Minä en ymmärrä miten noiden neliöiden piirtäminen lauseen todistaa, mutta olen sitten ilmeisesti vain tyhmä.
Et ole väärässä. Lausettahan ei todistettu millään muotoa, alat olisi pitänyt osoittaa saman kokoisiksi.
Ei heti tule mieleen tällaisia aasinsiltoja. Erilaisia analogioita arkielämään olen kyllä itsekin käyttänyt, mutta ei sellaisia toisaalta voi todistuksiksi väittääkään.
Se on kyllä ihan totta, että lukiolaiset eivät keskimäärin ymmärrä todistuksen käsitettä. Parhaimmillaankin sitä ehkä ajatellaan vain jonkinlaisena yhtäsuuruuksien ketjuna --- helpoimmat todistustehtävät kun yleensä ovat identiteettien osoittamisia. Lukion täyteen ahdetussa OPS:ssa on kyllä syynsä tähän vikaan, mutta ehkä myös eksaktimpi ote jo peruskoulun puolella auttaisi asiaa. Ja toisaalta tiputtaisi porukkaa kärryiltä.
Suo siellä, vetelä täällä.
olen nähnyt seuraavan: Olkoon kolmion kärjet A,B ja C. Katsotaan aluksi kärjestä A kärjen C suuntaan ja käännetään katse kärjen B suuntaan ja kuljetaan pitkin sivua AB kärkeen B, jossa käännetään katse kärjen C suuntaan ja kuljetaan sivu BC kärkeen C, jossa käännetään katse kärjen A suuntaan ja kuljetaan sivu CA, jolloin on palattu takaisin pisteesen A ja katseen suunta kääntynyt 180 astetta. Kolmion jokaisessa kulmassa on katsetta käännetty ko. kulman verran, joten kolmion kulmien summa on 180 astetta. Tämä on näennäistodistus, vaikka sitä on ehkä vaikea huomata välittömästi. JL
Minkälainen se todistus tarkalleen oli? Tuo Proof #24?
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml
Olisko tää 'paras':
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Pyth69PWW.shtml
todistus Pythagoraan lauseelle!
Miettikääpä, mikä kummassakin kuviossa on kuvion kokonaispinta-alasta kolmen kolmion pinta-alojen vähentämisen jälkeen jäljelle jäävän pinta-alan lauseke.